Luzifer-Rätsel

Das Luzifer-Rätsel (auch unter anderen Namen bekannt) ist ein mathematisches Rätsel aus dem Bereich der Zahlentheorie, das von dem Mathematiker Hans Freudenthal veröffentlicht^[1] wurde.

Das Rätsel demonstriert eindrucksvoll, wie bereits einfach formulierte und allgemein erscheinende Voraussetzungen der Ausgangspunkt zu komplexen mathematischen Überlegungen sein können und auch eine präzise und eindeutige Lösung liefern. Es ist deshalb recht weit verbreitet als Übungsaufgabe in der mathematischen Ausbildung oder als intelligentes Preisrätsel.

Das Rätsel

Es kursieren verschiedene Fassungen des Rätsels, die inhaltlich identisch sind und sich lediglich im textlichen Rahmen unterscheiden. Eine populäre Fassung, die zur Bezeichnung „Luzifer-Rätsel“ führte, lautet in etwa folgendermaßen:

Die berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß und Leonhard Euler landen nach ihrem Tod in der Hölle. Luzifer verspricht ihnen die Freiheit, wenn sie die beiden ganzen Zahlen zwischen 1 und 100 (d.h. im Bereich {2,3,…,99}) erraten, die er sich ausgedacht hat. Er nennt Gauß das Produkt und Euler die Summe der beiden Zahlen; darauf entwickelt sich zwischen den Mathematikern folgender Dialog:

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“

Euler: „Das war mir klar.“

Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“

Unabhängig von der Frage, ob Gauß und Euler aus der Hölle entkommen, lautet die Aufgabe, allein aus diesen Angaben die beiden Ausgangszahlen zu ermitteln.

Die Lösung

Die beiden gesuchten Zahlen seien a und b, für beide gilt 1 < a,b < 100, Gauß kennt das Produkt m = a · b beider Zahlen, Euler die Summe s = a + b.

• Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“

Gauß bestimmt zunächst die Primfaktorzerlegung von m. Die Zahlen a und b kann er sofort bestimmen, wenn einer der folgenden Fälle eintritt:

1. m lässt sich in genau zwei Primfaktoren zerlegen: Der eine Faktor ist a, der andere b (Vertauschung liefert keine prinzipiell andere Lösung, die Zahl 1 wurde in den Voraussetzungen ausgeschlossen).
2. Einer der Primfaktoren ist größer als 50: Dieser Faktor muss bereits die eine der beiden gesuchten Zahlen sein; jede Multiplikation mit einem weiteren Faktor würde über 100 hinausgehen.

Da Gauß die Zahlen zu diesem Zeitpunkt noch nicht kennt, kann keiner der beiden Fälle vorliegen; die Primfaktorzerlegung von m liefert also mindestens drei Faktoren, die alle kleiner als 50 sind.

• Euler: „Das war mir klar.“

Euler sieht aus der Summe s, dass die beiden oben genannten Fälle mit Sicherheit nicht vorliegen. Das schließt folgende Werte für s aus:

1. s = 198: Einzige Zerlegung ist 99 + 99, Gauß könnte die Lösung aus dem Produkt 9801 eindeutig herleiten.
2. s = 197: Einzige Zerlegung ist 98 + 99, auch diesen Fall kann Gauß aus dem Produkt 9702 eindeutig feststellen.
3. 54 < s < 197: In diesem Bereich könnte einer der beiden Summanden eine Primzahl von 53 bis 97 sein. Bei s = 55 besteht beispielsweise aus Eulers Sicht die Möglichkeit, dass m = 2 · 53 = 106 ist, woraus Gauß mit Sicherheit auf a = 2 und b = 53 (oder umgekehrt) gekommen wäre.
4. s < 55 und gerade: Nach der Goldbachschen Vermutung könnten in diesem Fall die beiden Summanden Primzahlen (und dann notwendigerweise kleiner als 50) sein. Zwar ist die Goldbachsche Vermutung nicht für alle geraden Zahlen bewiesen, der Bereich s < 55 ist aber längst überprüft.
5. s = p + 2, wobei p Primzahl ist (und p < 50): Diese Zahlen erlauben die Zerlegung in die Primzahlen 2 und p.
6. s = 51: In diesem Fall ist eine Zerlegung 17 + 34 möglich, die Gauß aus dem Produkt 578 = 17 · 17 · 2 eindeutig ableiten kann (17 · 17 = 289 > 100 kommt als Lösungszahl nicht in Frage).

Als einzige mögliche Werte für s bleiben Werte der folgenden Menge S := {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}. Höchstens bei diesen kann Euler sicher sein, dass Gauß die Lösung nicht sofort aus dem Produkt ablesen kann.

Da alle Werte in S ungerade sind, steht jetzt schon fest, dass eine der Zahlen a und b gerade ist, die andere ungerade. Ferner sind a und b in jedem Fall kleiner als 53.

• Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

Gauß kann sein Produkt auf mehrere Arten zerlegen, von denen aber nur eine auch eine Summe in S ergibt. Unter allen möglichen Fällen sind folgende Spezialfälle hervorzuheben:

1. m enthält einen ungeraden Primfaktor und mehrfach den Faktor 2: Der ungerade Faktor ist die eine Lösungszahl, die andere ist eine Zweierpotenz. Das ist in diesem Fall die einzige Aufteilung, die eine gerade und eine ungerade Zahl ergibt.
2. m enthält (als einen von mindestens drei) einen Primfaktor ab 29: Dieser Primfaktor ist dann zwingend eine der Lösungszahlen. Die Multiplikation dieses mit einem beliebigen anderen Faktor würde einen Wert über 53 liefern.

• Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“

Euler sieht, dass sich seine Summe nur auf eine einzige Weise zerlegen lässt, die einen der oben genannten Fälle liefert. Folgende Werte für s scheiden aus, da Gauß in diesen Fällen keine eindeutige Lösung bestimmen könnte:

1. Alle Werte ab 35: Diese lassen sich sowohl als 29 + b wie auch als 31 + b' zerlegen, also zweimal nach dem Typ Spezialfall 2
2. 11: Zerlegung 7 + 4 und 3 + 8 (beides entspricht Spezialfall 1)
3. 23: Zerlegung 19 + 4 und 7 + 16 (ebenfalls zweimal Spezialfall 1)
4. 27: Zerlegung 23 + 4 und 19 + 8 (wieder in beiden Fällen Spezialfall 1)
5. 29: Zerlegung 13 + 16 und 17 + 12 (die erste ist Spezialfall 1, die zweite ist für Gauß eindeutig aus dem Produkt 17 · 3 · 2 · 2 ablesbar, weil die einzig mögliche andere Aufteilung 51 · 4 die Summe 55 liefert)

Damit bleibt der Wert 17. Gibt es tatsächlich eine (und nur eine) Zerlegung von 17 die Gauß eindeutig als Lösung identifizieren kann? Dazu müssen alle möglichen Zerlegungen geprüft werden:

• 17 = 3 + 14: m = 3 · 14 = 2 · 21 ist für Gauß nicht eindeutig lösbar, da 2 + 21 = 23 ebenfalls in S
• 17 = 5 + 12: m = 5 · 12 = 20 · 3 ebenfalls nicht eindeutig (20 + 3 = 23 in S)
• 17 = 7 + 10: m = 7 · 10 = 2 · 35 ebenso, wegen 37 in S
• 17 = 9 + 8: m = 9 · 8 = 24 · 3 ebenso, wegen 27 in S
• 17 = 11 + 6: m = 11 · 6 = 2 · 33 ebenso, wegen 35 in S
• 17 = 15 + 2: m = 15 · 2 = 6 · 5 ebenso, wegen 11 in S

Es verbleibt damit a = 13 und b = 4, eine Lösung, die dem obigen Spezialfall 1 entspricht. Dies ist tatsächlich die einzige Lösung, die alle Bedingungen erfüllt.

Ein Weg, die Lösung nachzuvollziehen

Die, die beim Nachvollziehen der rein mathematischen Lösung Probleme haben, sollten sich einmal in die Personen Gauß und Euler versetzen. Schließlich bekam ja jeder seine Zahl: Gauß das Produkt 52 und Euler die Summe 17. (Dies ist nicht der Weg, der die Lösung des Rätsels, wie oben gestellt, herbeiführt, sondern der die Lösung im Zusammenhang mit dem Dialog verständlich machen soll. Man benötigt nur ein bisschen Mathematik [Klassenstufe 6 etwa] und ein bisschen Sprachlogik.)

Also:

Gauß erhält das Produkt 52; Euler die Summe 17.

Zuerst zerlegt Gauß die Zahl 52 in die möglichen Faktorenpaare:

52 = 4 · 13 und 52 = 2 · 26

Da es für das Produkt ja nur diese zwei Zahlenpaare geben kann, ist Gauß hier der Lösung eigentlich schon ganz nahe. Er könnte das Ergebnis aber nur raten, was für einen Mathematiker natürlich nicht in Frage kommt. Er sieht aber auch, dass Euler ja nur die Summen 17 (4+13) oder 28 (2+26) erhalten haben kann. Gauß fertigt sich die zwei nachfolgenden Tabellen an:

Tabelle 1 für die Summe 17:

nach Vorgabe zerlegbar in	Produkt	mögliche Faktorenpaare
2 + 15	30	2 · 15 / 3 · 10 / 5 · 6
3 + 14	42	2 · 21 / 3 · 14 / 6 · 7
4 + 13	52	2 · 26 / 4 · 13
5 + 12	60	2 · 30 / 3 · 20 / 4 · 15 / 5 · 12 / 6 · 10
6 + 11	66	2 · 33 / 3 · 22 / 6 · 11
7 + 10	70	2 · 35 / 5 · 14 / 7 · 10
8 + 9	72	2 · 36 / 3 · 24 / 4 · 18 / 6 · 12 / 8 · 9

Tabelle 2 für die Summe 28:

nach Vorgabe zerlegbar in	Produkt	mögliche Faktorenpaare
2 + 26	52	2 · 26 / 4 · 13
3 + 25	75	3 · 25 / 5 · 15
4 + 24	96	2 · 48 / 3 · 32 / 4 · 24 / 6 · 16 / 8 · 12
5 + 23	115	5 · 23
6 + 22	132	2 · 66 / 3 · 44 / 4 · 33 / 6 · 22 / 11 · 12
7 + 21	147	3 · 49 / 7 · 21
8 + 20	160	2 · 80 / 4 · 40 / 5 · 32 / 8 · 20 / 10 · 16
9 + 19	171	3 · 57 / 9 · 19
10 + 18	180	2 · 90 / 3 · 60 / 4 · 45 / 5 · 36 / 6 · 30 / 9 · 20 / 10 · 18 / 12 · 15
11 + 17	187	11 · 17
12 + 16	192	2 · 96 / 3 · 64 / 4 · 48 / 6 · 32 / 8 · 24 / 12 · 16
13 + 15	195	3 · 65 / 5 · 39 / 13 · 15
14 + 14	196	2 · 98 / 4 · 49 / 7 · 28 / 14 · 14

Die Tabellen zeigen, dass weder er (Gauß) noch Euler eindeutig das gesuchte Zahlenpaar ersehen können; also beschließt er, Euler mitzuteilen, dass er die Zahlen nicht bestimmen kann. Zuvor hat Euler sich natürlich auch seine Gedanken gemacht. Da er ja die Zahl 17 als Summe der beiden zu erratenden Zahlen erhalten hat, fertigt er ebenfalls Tabelle 1 an. Dabei sieht er, dass Gauß nur Produkte bilden kann, die aus mindestens zwei Faktorenpaaren gebildet werden können.

Nun kommt es also zu obigem Dialog:

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“

(Kommentar: Da Raten nicht in Frage kommt, bleibt dem Mathematiker hier nur dies schlichte Eingeständnis.)

Euler: „Das war mir klar.“

(Kommentar: Diese eindeutige Antwort bringt Gauß plötzlich ins Grübeln. Warum weiß Euler so genau, dass er (Gauß) die Zahlen nicht bestimmen kann? In diesem Moment muss Gauß annehmen, dass nicht 28 die Summe sein kann, die Euler erhalten hat, da er sich sonst anders äußern müsste, zum Beispiel: „Ach, hätte ja sein können“ [nämlich die Zahlen 5 und 23 oder 11 und 17], da er aber sagt, dass es ihm klar sei, lässt er erkennen, dass seine Summe sich nur in Faktoren zerlegen lässt, die zu Produkten führt, die mehrere mögliche Faktorenpaare haben. Dies ist aber nur bei der Summe 17 der Fall. Das heißt also: Es müssen die Zahlen 4 und 13 sein.)

Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

(Kommentar: Diese Antwort bringt wiederum Euler ins Grübeln. Wie kann Gauß aufgrund seiner Äußerung die Zahlen wissen? Gauß muss der Lösung also schon sehr nahe gewesen sein. Er betrachtet noch einmal die Tabelle 1. Dabei fällt natürlich sofort die Zeile auf, die nur zwei Faktorenpaare enthält. Wenn dies nun die Lösung wäre, hätte Gauß doch sicher das Produkt 52 in diese Faktoren zerlegt und auch die möglichen Summanden in wiederum mögliche Faktoren zerlegt. Oder kurz gesagt: Gauß hätte Tabelle 1 und Tabelle 2 angefertigt. Für diesen Fall kann Euler Gauß’ Gedanken nachvollziehen. Gauß kann [wie wir ja wissen] nur zwei Möglichkeiten gehabt haben. Eine, die durchweg mehrere mögliche Faktorenpaare enthält und eine, die auch Primzahlfaktorenpaare [und somit trivial lösbare] enthält. Euler schließt aber durch seine Äußerung: „Das war mir klar“ diese Summe [28] mit den trivialen Lösungen [sprachlich gesehen] aus. Also bleibt nur noch die andere [17] übrig: Es müssen die Zahlen 4 und 13 sein.)

Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“

Weblink

• Zahlenrätsel Hier gibt es noch eine schwierigere Version dieses Rätsels von Robert Sontheimer

Verweise

1. ↑ Hans Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3, Volume 17, 1969, page 152