Mahalanobis-Distanz

Die Mahalanobis-Distanz (nach Prasanta Chandra Mahalanobis) ist ein Distanzmaß zwischen Punkten in einem mehrdimensionalen Vektorraum. Die Mahalanobis-Distanz wird speziell in der Statistik zum Beispiel im Zusammenhang mit multivariaten Verfahren verwendet.

Bei multivariaten Verteilungen werden die m Koordinaten eines Punktes als m-dimensionaler Spaltenvektor dargestellt. Man fasst ihn als Realisation eines Zufallsvektors X mit der Kovarianzmatrix S auf.

Der Abstand zweier so verteilter Punkte x und y wird dann bestimmt durch die Mahalanobis-Distanz

$d(\underline x, \underline y)=\sqrt{(\underline x - \underline y)^T S^{-1}(\underline x - \underline y)}$

Die Mahalanobis-Distanz ist skaleninvariant und translationsinvariant.

Graphisch bilden die Punkte gleicher Mahalanobis-Distanz von einem Zentrum im zweidimensionalen eine Ellipse (deren Achsen nicht notwendigerweise in Richtung der Koordinatenachsen zeigen), während es bei der euklidischen Distanz ein Kreis ist. Ist die Kovarianzmatrix die Einheitsmatrix (dies ist genau dann der Fall, wenn die einzelnen Komponenten des Zufallsvektors X paarweise unabhängig sind und jeweils Varianz 1 besitzen), so entspricht die Mahalanobis-Distanz dem euklidischen Abstand. Die Trennflächen mit gleichem Abstand zwischen zwei Punkten können bei der Mahalanobis-Distanz beliebige Kegelschnitte sein.

Mathematisch ergibt sich die Mahalanobis-Distanz aus der m-dimensionalen Normalverteilung mit Erwartungswertvektor $\underline \mu$ und Kovarianzmatrix S, wobei $\det(S) \neq 0$ gilt. Diese Verteilung besitzt nämlich die Dichte

$\frac{1}{(2\pi)^\frac{m}{2} \sqrt{|\det(S)|}} \cdot \exp\left(-\frac{1}{2} (\underline x - \underline \mu)^T S^{-1}(\underline x - \underline \mu)\right)$

Durch Logarithmieren dieses Ausdrucks erhält man

$-\frac{1}{2} (\underline x - \underline \mu)^T S^{-1}(\underline x - \underline \mu) - c$

für eine Konstante c, was bis auf die fehlende Wurzel, den Vorfaktor und den Summanden c der Mahalanobis-Distanz entspricht.

Anwendungen

In der Diskriminanzanalyse wird die Zuordnung eines Punktes zu einer bestimmten gegebenen Population unter anderem mit der Mahalanobis-Distanz bestimmt. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Erkennung von Ausreißern mit Hilfe der Mahalanobis-Distanz, wobei der Punkt y durch einen (robusten) Lageparameter ersetzt wird. Kritisch ist dabei anzumerken, dass sowohl die Kovarianzmatrix als auch die Lageparameter durch Ausreißer verzerrt sein können. Sie werden in den meisten Fällen durch robuste Verfahren geschätzt, wie z.B. den MCD-Schätzern. Weiterhin können bei der Verwendung der Mahalanobis-Distanz als Abstandsklassifikator zwei Fälle unterschieden werden:

1. Die Kovarianzmatrix ist für alle Klassen gleich oder gemittelt.
2. Es werden unterschiedliche Kovarianzmatrizen für die einzelnen Klassen verwendet.

Die Entscheidung für eine Alternative ist durch empirische Analysen zu begründen.

Siehe auch

• Normalverteilung

Literatur

• P.C. Mahalanobis: On the generalised distance in statistics. In: Proceedings of the National Institute of Science of India. Vol. 2, Nr. 1, 1936, S. 49-55.