Marginalverteilung

Als Randverteilungen oder Marginalverteilung werden in der Stochastik Verteilungsfunktionen bezeichnet, die aus einer anderen Verteilungsfunktion durch Vernachlässigung eines Teils der Zufallsvariablen entstehen. Die einzelnen Werte der Randverteilung nennt man Randhäufigkeiten (auch Marginalhäufigkeiten oder marginale Häufigkeiten). Die Randhäufigkeiten für kategorial unterteilte (distinkte) Merkmale, lassen sich am Rand einer Kontingenztafel ablesen. Die Randhäufigkeiten sind hier, die Summen der Häufigkeiten über das vernachlässigte Merkmal hinweg und bilden zusammen die Randverteilung.

Randverteilungen kann man sowohl für diskrete als auch für stetige Merkmale berechnen. Wie bei Verteilungen allgemein unterscheidet man dementsprechend:

• diskrete Randverteilungen
• stetige Randverteilungen

Außerdem kann man die Randverteilung sowohl für absolute Häufigkeiten als auch für relative Häufigkeiten bilden. Die relativen Randhäufigkeiten nennt man Randwahrscheinlichkeiten.

Beispiel anhand von Kontingenztafeln

Randverteilungen lassen sich unter anderem in Kontingenztafeln darstellen. Am Rand dieser Tafel lassen sich die Randhäufikeiten, die zusammen die Randverteilung bilden, als Summen über das vernachlässigte Merkmal ablesen.

Beispielsweise ist hier eine Kontingenztafel mit absoluten Häufigkeiten zu sehen. Dasselbe wäre auch mit relativen Häufigkeiten denkbar.

	Mann	Frau	Randhäufigkeiten
Klasse 10	10	10	20
Klasse 11	4	16	20
Randhäufigkeiten	14	26	40

Die Randhäufigkeit in der Klasse 10 zu sein unter der Vernachlässigung dessen, ob man männlich oder weiblich ist beträgt 20. Die entsprechende Randhäufigkeit für Klasse 11 ist ebenso 20. Die Randverteilung ist also gleichverteilt, weil es gleichviele Schüler in beiden Klassen gibt. Das Merkmal Klasse ist distinkt, das heißt in klar abgegrenzte Kategorien unterteilt.

Es gibt allerdings auch Merkmale, die sich nicht in Kategorien unterteilt sind, wie zum Beispiel Körpergröße. Diese Merkmale sind stetig, weil es fließende Übergänge, zwischen allen möglichen Ausprägungen des Merkmals gibt. Solche Merkmale lassen sich nicht in Tabellen darstellen. Um die Darstellung in einer Kontingenztafel dennoch zu ermöglichen ist es möglich das Merkmal in sogenannte Klassen (gemeint sind hier Kategorien) einzuteilen, indem man sogenannte Klassengrenzen festlegt.^[1] Das stetige Merkmal Körpergröße könnten man einteilen indem man als Klassengrenze 142cm festlegt und die Personen in Leute >142cm und <=142cm einteilt. Für diese in Klassen eingeteilte Gruppen lassen sich nun wieder Klassenhäufigkeiten messen die man in einer Kontingenztafel einträgt. Da keine Person die in einer Klasse (>142) ist auch gleichzeitig in einer anderen Klasse (<=142) sein kann, spricht man auch von einer Einteilung in disjunkte Mengen.

Definition

Für n Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$ mit gemeinsamer Verteilungsfunktion $F(x_1,\dots,x_n)$ nennt man für jedes $k\in\{1,\dots,n\}$ die Funktion $F_k (x) = F(c_1,\dots,c_n)$ mit c_k = x und $c_{l\ne k}=\infty$ eine (eindimensionale) Randverteilung von $F(x_1,\dots,x_n)$.

Entsprechend kann man m-dimensionale Randverteilungen definieren, indem nur n − m der c_i unendlich setzt.

Die zur Randverteilung F_k gehörende Verteilungsdichte wird als Randdichte oder Marginaldichte bezeichnet. Man erhält eine Randdichte aus der gemeinsamen Dichte durch Summation oder Integration über die nicht mehr berücksichtigten Variablen.

Eigenschaften

• Ein System von n gemeinsam verteilten Zufallsvariablen besitzt ${n \choose m}$ m-dimensionale Randverteilungen.
• Für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen ist die gemeinsame Verteilung das Produkt der Randverteilungen.
• Die Randverteilungen einer Gauß'schen Verteilungsfunktion sind ebenfalls Gauß'sch.

Literatur

• I. N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch ISBN 3-81712-006-0.

Einzelnachweise

1. ↑ P. Heinz Müller (Herausgeber): Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Lexikon der Stochastik, Akademie-Verlag, Berlin 1980, S. 116 und S. 124