Randverteilung

Als Randverteilungen oder Marginalverteilung werden in der Stochastik die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Teilfamilien einer gegebenen Familie von Zufallsvariablen bezeichnet. Die Verteilung der gesamten Familie wird zur Verdeutlichung auch gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen genannt. Sind beispielsweise X und Y Zufallsvariable (auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum), dann heißen die Verteilungen der einzelnen Variablen X und Y die Randverteilungen des Zufallsvektors (X,Y).

Randverteilungen kann man sowohl für diskrete als auch für stetige Merkmale berechnen. Wie bei Verteilungen allgemein unterscheidet man dementsprechend:

• diskrete Randverteilungen
• stetige Randverteilungen

Außerdem kann man die Randverteilung sowohl für absolute Häufigkeiten als auch für relative Häufigkeiten bilden. Die einzelnen Werte der Randverteilung nennt man dann Randhäufigkeiten (auch Marginalhäufigkeiten oder marginale Häufigkeiten). Die Randhäufigkeiten für kategorial unterteilte (distinkte) Merkmale lassen sich am Rand einer Kontingenztafel ablesen. Sie sind hier die Summen der Häufigkeiten über das vernachlässigte Merkmal hinweg.

Beispiel anhand von Kontingenztafeln

Randverteilungen diskreter Merkmale lassen sich in Kontingenztafeln darstellen. Am Rand dieser Tafel lassen sich die Randhäufigkeiten, die zusammen die Randverteilung bilden, als Summen über das vernachlässigte Merkmal ablesen.

Beispielsweise ist hier eine Kontingenztafel mit absoluten Häufigkeiten zu sehen. Dasselbe wäre auch mit relativen Häufigkeiten denkbar.

	Mann	Frau	Randhäufigkeiten
Klasse 10	10	10	20
Klasse 11	4	16	20
Randhäufigkeiten	14	26	40

Die Randhäufigkeit in der Klasse 10 zu sein unter der Vernachlässigung dessen, ob man männlich oder weiblich ist beträgt 20. Die entsprechende Randhäufigkeit für Klasse 11 ist ebenso 20. Die Randverteilung ist also gleichverteilt, weil es gleichviele Schüler in beiden Klassen gibt. Das Merkmal Klasse ist distinkt, das heißt in klar abgegrenzte Kategorien unterteilt.

Es gibt allerdings auch Merkmale, die sich nicht in Kategorien unterteilt sind, wie zum Beispiel Körpergröße. Diese Merkmale sind stetig, weil es fließende Übergänge, zwischen allen möglichen Ausprägungen des Merkmals gibt. Solche Merkmale lassen sich nicht in Tabellen darstellen. Um die Darstellung in einer Kontingenztafel dennoch zu ermöglichen ist es möglich das Merkmal in Klassen (gemeint sind hier Kategorien) einzuteilen, indem man sogenannte Klassengrenzen festlegt.^[1] Das stetige Merkmal Körpergröße könnten man einteilen indem man als Klassengrenze 142cm festlegt und die Personen in Leute >142cm und ≤142cm einteilt. Für diese in Klassen eingeteilte Gruppen lassen sich nun wieder Klassenhäufigkeiten messen die man in einer Kontingenztafel einträgt. Da keine Person die in einer Klasse (>142) ist auch gleichzeitig in einer anderen Klasse (≤142) sein kann, spricht man auch von einer Einteilung in disjunkte Mengen.

Definition

Für n Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$ mit gemeinsamer Verteilungsfunktion $F(x_1,\dots,x_n)$ nennt man für jedes $k\in\{1,\dots,n\}$ die Funktion $F_k (x) = F(c_1,\dots,c_n)$ mit c_k = x und $c_{l\ne k}=\infty$ eine (eindimensionale) Randverteilung von $F(x_1,\dots,x_n)$.

Entsprechend kann man m-dimensionale Randverteilungen definieren, indem nur n − m der c_i unendlich setzt.

Die zur Randverteilung F_k gehörende Verteilungsdichte wird als Randdichte oder Marginaldichte bezeichnet. Man erhält eine Randdichte aus der gemeinsamen Dichte durch Summation oder Integration über die nicht mehr berücksichtigten Variablen.

Eigenschaften

• Ein System von n gemeinsam verteilten Zufallsvariablen besitzt $\tbinom{n}{m}$ m-dimensionale Randverteilungen.
• Für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen ist die gemeinsame Verteilung das Produkt der Randverteilungen.
• Die Randverteilungen einer Gauß'schen Verteilungsfunktion sind ebenfalls Gauß'sch.

Diskrete Verteilungen

Sind X und Y diskrete Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum, deren gemeinsame Verteilung durch

P(X = x_i,Y = y_j) = ρ(x_i,y_j) mit $i \in I, j \in J$

gegeben ist, dann berechnet sich die Randverteilung von X durch Summation über alle möglichen Werte von Y

$P(X=x_i) = \sum_{j\in J} \rho(x_i, y_j)$.

Analog gilt für die Randverteilung von Y

$P(Y=y_j) = \sum_{i\in I} \rho(x_i, y_j)$.

Stetige Verteilungen

Sind X und Y stetige Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum mit gemeinsamer Dichtefunktion f(x,y), dann erhält man die Randdichten f_X(x) von X und f_Y(y) von Y durch Integration über die jeweils andere Variable:

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy$,

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx$.

Literatur

• I. N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch ISBN 3-81712-006-0.
• Henze, Norbert: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2.

Einzelnachweise

1. ↑ P. Heinz Müller (Herausgeber): Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Lexikon der Stochastik, Akademie-Verlag, Berlin 1980, S. 116 und S. 124