Millertheorem

Zweipol-Schaltbild

Das Millertheorem, benannt nach John Milton Miller, behandelt die Verlegung von Impedanzen in elektrischen Netzen. Gibt es zwei Netze (Zweipole) die über eine Impedanz Z verbunden sind, so kann diese Impedanz so verlegt werden, dass beide Netze getrennt werden. Das Millertheorem ist die Verallgemeinerung des Millereffekts.

Die Verlegung in Z₁ und Z₂ ist dann korrekt, wenn beide Netze nach der Verlegung die gleichen Impedanzen sehen wie vorher.

Die beiden Spannungen sind über die Verstärkung

$M = \frac{U_2}{U_1}$

verknüpft, womit sich dann für die verlegten Impedanzen Z₁ und Z₂:

$Z_1 = Z \frac {1} {1-M}$

$Z_2 = Z \frac{M}{M-1}$

ergibt.

Zu beachten ist, dass bei einer Verstärkung M größer eins die Impedanz Z₁ negativ ist, wenn Z positiv ist. Bei einem invertierenden Verstärker M kleiner minus -1 verringert sich die Impedanz Z₁ im Vergleich zu Z deutlich.

Herleitung

Die Spannung U_Z über die Impedanz Z ergibt sich aus der Differenz der Klemmenspannungen, wobei sich durch Substition von M die aufgeführte Umwandlung ergibt.

$I = \frac{U_Z}{Z} = \frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_1}{Z}\left(1 - \frac{U_2}{U_1} \right) = \frac{U_1}{Z}(1 - M)$

Gleichzeitig gilt die für die „gesehene“ Impedanz Z₁:

$I = I_1 = \frac{U_1}{Z_1}$

Durch Gleichsetzen folgt:

$\frac{U_1}{Z_1} = \frac{U_1}{Z}(1 - M)$

und durch Äquivalenzumformung ergibt sich schließlich:

$Z_1 = \frac{Z}{1-M}$.

Analog gilt für die „gesehene“ Impedanz Z₂:

$I = \frac{U_Z}{Z} = \frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_2}{Z}\left( \frac {U_1}{U_2} - 1 \right)= \frac{U_2}{Z}\left( \frac {1}{M} - 1 \right) = \frac{U_2}{Z}\frac{1}{M} \left( 1-M \right)$

$I = -1\cdot I_2 = -1 \cdot \frac{U_2}{Z_2}$

$-1 \cdot \frac{U_2}{Z_2}=\frac{U_2}{Z}\frac{\left( 1-M \right)}{M}$

$Z_2 = Z \frac{M}{M-1}$