- Momentenerzeugende Funktion
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Mit der Momenterzeugenden Funktion kann das k-te Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ermittelt werden. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen X definiert durch
,
falls deren Erwartungswerte E(Xn) existieren. Dabei sind
die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Inhaltsverzeichnis
Für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
Falls X eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) hat, dann ist die momenterzeugende Funktion durch
gegeben, wobei mi das i-te Moment ist. Der Ausdruck MX( − t) ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch X festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion
Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die k-te Ableitung von MX im Punkt 0 (Null) gleich dem k-ten Moment der Zufallsvariablen X ist:
.
Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt.
Verallgemeinerung auf l Zufallsvariablen
Für l Zufallsvariablen
lässt sich die momenterzeugende Funktion wie folgt erweitern:
.
Bemerkungen
Zusammenhang mit der charakteristische Funktion
Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion
, die im wesentlichen die Inverse der Fourier-Transformierten des Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellt.
Weitere erzeugende Funktionen
Zu den weiteren erzeugenden Funktionen zählt man die charakteristische Funktion, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion.
Eindeutigkeitseigenschaft[1]
Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße X in einer Umgebung von 0 endlich, so bestimmt sie die Verteilung von X eindeutig. Formal bedeutet das:
Seien X und Y zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen MX und MY derart, dass es ein
gibt mit
für alle
. Dann gilt PX = PY genau dann, wenn MX(s) = MY(s) für alle
gilt.
Beispiele
Normalverteilung
Die Momenterzeugende Funktion einer normalverteilten Zufallsgröße
ist
.
Exponentialverteilung
Die Momenterzeugende Funktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße mit Parameter λ ist
Einzelnachweise
- ↑ The Annals of Mathematical Statistics: J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions , 16. Oktober 2008
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