Momentenerzeugende Funktion

Mit der Momenterzeugenden Funktion kann das k-te Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ermittelt werden. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen X definiert durch

$M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)=E\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(tX)^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}E(X^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}m_X^n$,

falls deren Erwartungswerte E(Xⁿ) existieren. Dabei sind $m_X^n=E(X^n)$ die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Falls X eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) hat, dann ist die momenterzeugende Funktion durch

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2}{2!}x^2 + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + t m_X^1 + \frac{t^2}{2!}m_X^2 +\cdots,$

gegeben, wobei m_i das i-te Moment ist. Der Ausdruck M_X( − t) ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch X festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die k-te Ableitung von M_X im Punkt 0 (Null) gleich dem k-ten Moment der Zufallsvariablen X ist:

$\frac{\partial^k}{\partial t^k} M_X(t)\biggr\vert_{t=0} = E(X^k) = m_X^k$.

Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt.

Verallgemeinerung auf l Zufallsvariablen

Für l Zufallsvariablen $\overline\mathbf{X} = X_1, \cdots , X_l$ lässt sich die momenterzeugende Funktion wie folgt erweitern:

$M_{\overline\mathbf{X}}(t) =E\left(\sum_{n_1\cdots n_l=0}^{\infty}\frac{(t_1 X_1)^{n_1}\cdots(t_l X_l)^{n_l} }{n_1!\cdots n_l!}\right) = \sum_{n_1\cdots n_l=0}^{\infty}\frac{t_1^{n_1} \cdots t_l^{n_l} }{n_1!\cdots n_l!}m_{\overline\mathbf{X}}^n$.

Bemerkungen

Zusammenhang mit der charakteristische Funktion

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion $\varphi_X(t) = E\left(e^{\mathrm{i}t X}\right)$, die im wesentlichen die Inverse der Fourier-Transformierten des Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellt.

Weitere erzeugende Funktionen

Zu den weiteren erzeugenden Funktionen zählt man die charakteristische Funktion, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion.

Eindeutigkeitseigenschaft^[1]

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße X in einer Umgebung von 0 endlich, so bestimmt sie die Verteilung von X eindeutig. Formal bedeutet das:

Seien X und Y zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen M_X und M_Y derart, dass es ein $\varepsilon > 0$ gibt mit $M_X (s), M_Y (s) < \infty$ für alle $s \in (-\varepsilon,\varepsilon)$. Dann gilt P_X = P_Y genau dann, wenn M_X(s) = M_Y(s) für alle $s \in (-\varepsilon,\varepsilon)$ gilt.

Beispiele

Normalverteilung

Die Momenterzeugende Funktion einer normalverteilten Zufallsgröße $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ ist $M_X(t)=\exp{\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}$.

Exponentialverteilung

Die Momenterzeugende Funktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße mit Parameter λ ist $M_X(t)= \frac{\lambda}{\lambda-t}$

Einzelnachweise

1. ↑ The Annals of Mathematical Statistics: J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions , 16. Oktober 2008