Arithmetischer Mittelwert (Elektrotechnik)

Der arithmetische Mittelwert, auch linearer Mittelwert oder Gleichwert genannt, ist in der Elektrotechnik, besonders im Bereich der elektrischen Messtechnik und der theoretischen Elektrotechnik, eine Anwendung des arithmetischen Mittels, vorzugsweise im Zusammenhang mit zeitlich veränderlichen, dabei aber stationären Größen. Er gibt den Gleichanteil an, wenn ein Gemisch aus Wechsel- und Gleichspannung/-strom vorliegt.

Ansatz

Wird die mathematische Definition des arithmetischen Mittelwertes $\overline x = \frac1n \sum_{i=1}^n x_i$ angewendet auf eine fortlaufend vorhandene Größe, so ergibt sich mit Einzelwerten, die in gleichen zeitlichen Abständen Δt während einer Beobachtungsdauer τ = nּΔt gewonnen worden sind,

$\overline x = \lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{i=1}^n x_i=\lim_{\tau \to \infty} \frac1\tau\sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} x_i\cdot \Delta t\ .$

In der Praxis reicht als Beobachtungsdauer eine fallweise repräsentative endliche Dauer.

Arithmetischer Mittelwert bei periodischen Vorgängen

Sinusförmige Wechselspannung, gleichgerichtet, quadriert; dazu jeweils die Mittelwerte

Am Beispiel einer elektrischen Spannung u(t) ist ihr arithmetischer Mittelwert

• die mittlere Höhe aller Spannungs-Zeit-Flächen u(t)ּΔt oder
• die Summe aller Spannungs-Zeit-Flächen während einer Beobachtungsdauer τ geteilt durch die Beobachtungsdauer.

Bei periodischen Vorgängen mit der Periodendauer T kann man die Beobachtungsdauer auf die Periodendauer einschränken und errechnet den Mittelwert mit der Summe

$\overline u = \frac1T \cdot \sum u(t) \cdot \Delta t\ .$

Dabei muss Δt < T/2 sein. Zu einer präzisen Erfassung wählt man Δt deutlich kleiner. Bei bekannter Funktion u(t) ersetzt man die Summe durch das Integral

$\overline u =\frac1T\int\limits_{t_1} ^{t_1 +T}u(t)\ \mathrm dt\ .$

Als Wechselspannung bezeichnet man eine Spannung, deren Polarität in regelmäßiger Wiederholung wechselt, deren zeitlicher Mittelwert aber gemäß DIN 5483-1:1983 („Zeitabhängige Größen“) und DIN 40110-1:1994 („Wechselgrößen“) null beträgt. Die Kurvenform der Spannung ist dabei unerheblich und keineswegs an den Sinusverlauf gebunden. Die Fläche der Spannung über der Nulllinie ist dem Betrage nach genauso groß wie die Fläche unter der Nulllinie; die Summe aus positiver Fläche (über der Nulllinie) und negativer Fläche (unter der Nulllinie) ist dann gleich null.

Bei einer Mischspannung erhält man den Gleichanteil aus der Höhe einer waagerechten Geraden, bei der sich entsprechend die Flächen oberhalb und unterhalb zu null ergänzen.

Als weitere Formelzeichen außer $\overline u$ werden benutzt:

$\overline u= \overline U= U_-= U_{\text{av}}= U_{\text{DC}}$ ; av steht für average, DC für direct current.

Messung des arithmetischen Mittelwertes

Analoges Messverfahren

Bei diesem Messverfahren wird die Drehspule des Drehspulmesswerkes durch eine Kraft, welche proportional zum Strom i (t) ist, ausgelenkt. Eine Wechselspannung erzeugt abwechselnd einen positiven und negativen Strom und eine entsprechende Kraft. Da das mechanische Messwerk dem Rhythmus technischer Wechselspannungen nicht folgen kann, wird nur die mittlere Kraft erfasst und somit der Gleichspannungsanteil U_ der Mischspannung angezeigt.

Digitales Messverfahren

Digitalmultimeter benutzen häufig einen Analog-Digital-Umsetzer nach dem Dual-Slope-Verfahren.

Bei der Messung im DC-Messbereich wird ein Kondensator eine feste Zeit lang aufgeladen, er integriert Strom. Eine Gleichspannung lädt den Kondensator linear über der Zeit auf. Bei Wechselspannung wird den Kondensator aufgeladen und in demselben Maße wieder entladen; nach einer ganzen Zahl von Perioden, z. B. 300 ms bei 50 Hz oder 60 Hz, ist der Kondensator durch den Wechselspannungsanteil genau so viel oder wenig geladen wie durch die Gleichspannung alleine. Die Höhe der Kondensatorladung ist bestimmend für die Anzeige. Somit wird im Bereich DC nur der Gleichspannungsanteil der Mischspannung gemessen.

Verfahren bei Wechselgrößen

Da eine Wechselgröße (Wechselstrom, Wechselspannung) definitionsgemäß den arithmetischen Mittelwert null hat, ist seine Messung bei diesen Größen sinnlos. Die einfachste Methode, eine Wechselgröße durch Messung zu charakterisieren, besteht in der Ermittlung ihres Gleichrichtwertes. In Blick auf Energieübertragung ist der gemessene Effektivwert aussagekräftiger.