Nachgiebigkeit

Als Nachgiebigkeit δ bezeichnet man die Eigenschaft eines Körpers einer Montagevorspannkraft (Zug oder Druck) nachzugeben. Dabei verformt sich der Körper und es tritt ein Vorspannkraftverlust als Dehnung oder Plastische Verformung auf.

Definition

Die Nachgiebigkeiten von Schraube und Platte lassen sich mit der folgenden allgemeinen Formel berechnen und werden in $\tfrac{mm} {N}$ (Millimeter je Newton) angegeben.

$\delta= \frac{l} {E \cdot A}$

mit l … Länge E … Elastizitätsmodul A … Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Nachgiebigkeit der Schraube

Die Nachgiebigkeit von Schrauben ist ein wichtiges Element zur Berechnung der Montagevorspannkraft. Hohe Nachgiebigkeiten sind erforderlich, wenn Schrauben durch Betriebskräfte dynamisch belastet werden. Dadurch werden diese Schrauben weiter gedehnt (sie geben nach), anstatt zu brechen.

Die Schraubennachgiebigkeit setzt sich aus der Nachgiebigkeit der einzelnen Teilelemente zusammen:

$\delta_\mathrm{S}= \delta_\mathrm{K}+\delta_\mathrm{G}+\delta_\mathrm{M}+\sum_{i=1}^n\delta_\mathrm{i}$

mit

δ_K … Nachgiebigkeit des Schraubenkopfes

δ_G … Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindeteils

δ_M … Nachgiebigkeit der Mutter

Nachgiebigkeit des Schraubenkopfes δ_K

$\delta_\mathrm{K}= \frac{l_\mathrm{K}} {E_\mathrm{S} \cdot A_\mathrm{N}}$

mit $l_\mathrm{K}=0,5 \cdot d$ für Sechskantschrauben (Bsp.: M6 → d=6) bzw. $l_\mathrm{K}=0,4 \cdot d$ für Innensechskantschrauben

Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindeteils δ_G

$\delta_\mathrm{G}= \frac{0,5 \cdot d} {E_\mathrm{S} \cdot A_\mathrm{3}}$

Nachgiebigkeit der Mutter δ_M

$\delta_\mathrm{M}= \frac{l_\mathrm{M}} {E_\mathrm{S} \cdot A_\mathrm{N}}$

mit $l_\mathrm{M}=0,4 \cdot d$, E_M = E_S für Durchsteckverbindung (Bsp.: M6 → d=6) bzw. $l_\mathrm{M}=0,33 \cdot d$, E_M = E_S für Einschraubverbindung

Nachgiebigkeit der zylindrischen Teilelemente δ_i

Hierzu zählen Abschnitte wie: Nicht eingeschraubtes Gewinde, Taillien unterschiedlicher Dicke, Schaft normaler Dicke.

$\delta_\mathrm{i}= \frac{l_\mathrm{i}} {E_\mathrm{S} \cdot A_\mathrm{i}}$

$\sum_{i=1}^n\delta_\mathrm{i}$

Querschnittsflächen A

$A_\mathrm{N}= \frac{\pi \cdot d^2} {4}$ … Nennquerschnitt der Schraube

$A_\mathrm{3}= \frac{\pi \cdot d^2_3} {4}$ … Kernquerschnitt der Schraube

$A_\mathrm{i}= \frac{\pi \cdot d^2_i} {4}$ … Querschnittsfläche des Abschnitts i

Nachgiebigkeit der Platte

Auch bei der Nachgiebigkeit der Platte muss der Unterschied von Abschnitten mit verschiedenen Elastizitätsmodulen beachtet werden. Diese werden einzeln berechnet und dann addiert. In den meisten Fällen herrscht jedoch ein einziger Werkstoff vor. Dann gilt die Formel:

$\delta_\mathrm{P}= \frac{l_\mathrm{K}} {E_\mathrm{P} \cdot A_\mathrm{Ersatz}}$

Ersatzquerschnitt A_Ersatz

1. $A_\mathrm{Ersatz}=\frac \pi{4} (D^2_\mathrm{A}-d^2_\mathrm{h})$

   gilt nur bei D_A < d_w^[1] mit D_A ... Außendurchmesser der verspannten Teile

2. $A_\mathrm{Ersatz}=\frac \pi{4}(d^2_\mathrm{w}-d^2_\mathrm{h})+ \frac \pi{8}dw (D_\mathrm{A}-d_\mathrm{w})\left((x+1)^2-1\right)$

   gilt nur bei d_w < D_A < bzw. = d_w + l_K

   mit

   $X= \sqrt[3]\frac {l_\mathrm{K}d_\mathrm{w}}{D^2_\mathrm{A}}$

   $d_w < D_A < \text{bzw.} = 1.5d_w\,,\, l_{K max}=8d$

3. $A_\mathrm{Ersatz}=\frac \pi{4}(d^2_\mathrm{w}-d^2_\mathrm{h})+ \frac \pi{8}dwl_k\left((x+1)^2-1\right)$

   gilt nur bei D_A > d_w + l_k

   Wobei $X= \sqrt[3]\frac {l_K d_w} {(l_k + d_w)^2}$

Siehe auch

• Fügen (Fertigungstechnik)
• Elastizitätsmodul

Einzelnachweise

1. ↑ Roloff, Matek: Maschinenelemente. 17. Auflage, S. 212