Newtonsche Abbildungsgleichung

Bildentstehung an einer Linse. Die Größen z und z' sind rot markiert.

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist eine nach dem englischen Physiker Isaac Newton benannte Formel der Strahlenoptik.

Sie lautet $f^2 = z \cdot z'$ und wird vielfach anstelle der Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$ verwendet. Hierbei steht z bzw. z' für die Differenz aus Gegenstandsweite bzw. Bildweite und Brennweite.

Herleitung mit dem Strahlensatz

Betrachtet man den untersten vom Gegenstand G ausgehenden Strahl in der Abbildung, und den obersten zum Bild einfallenden Strahl (also die Strahlen durch die beiden Brennpunkte), so folgt aus dem Strahlensatz

$\frac{G}{B} = \frac{z}{f} = \frac{f}{z'}$

Hierbei sind G und B die Höhe des Gegenstandes bzw. Bildes. Die newtonsche Abbildungsgleichung ergibt sich unmittelbar aus dem rechten Gleichheitszeichen durch Erweitern mit fz'.

Herleitung aus der Linsengleichung

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist äquivalent zur Linsengleichung:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$

Es ergibt sich nach einfachen arithmetischen Umformungen:

$\begin{align} f &= \frac{g \cdot b}{g+b}\\ f (g + b) &= g \cdot b\\ f \cdot g + f \cdot b &= g \cdot b \end{align}$

Nach Addition von $f^2 - f\cdot g - f \cdot b$ auf beiden Seiten erhält man

$\begin{align} f^2 &= g \cdot b - g \cdot f - b \cdot f + f^2 \\ &= (g - f)(b - f) \end{align}$

was wegen

$\ z = g - f$ und $\ z' = b - f$

zum gewünschten Resultat führt.