Linsengleichung

Mit der Linsengleichung, auch Abbildungsgleichung genannt, kann man die optische Abbildung einer idealen Linse berechnen.

Bezeichnungen an der Linse

Wenn man den Strahlensatz der Geometrie zuerst auf den Mittelpunktsstrahl und die sich mit ihm im Mittelpunkt der Linse kreuzende optische Achse anwendet, erhält man den Abbildungsmaßstab A (oder m):

$A = \frac{B}{G} = \frac{b}{g}$.

Wobei G die Größe des abzubildenden Gegenstandes (Objektes) angibt und B die des Bildes. Die Gegenstandsweite oder Objektweite, also der Abstand zwischen Hauptebene der Linse und Objekt, ist hier mit g bezeichnet, und die Bildweite, also der Abstand zwischen Hauptebene und Bild, mit b.

Wendet man den Strahlensatz der Geometrie nun auf den Brennpunktstrahl und die sich mit ihm im Brennpunkt kreuzende optische Achse an, so erhält man:

$\frac{B}{G} = \frac{b-f}{f}$.

f ist in diesem Fall die bildseitige Brennweite der Linse.

Die linken Seiten der 1. und 2. Gleichung sind gleich, also müssen auch die rechten Seiten gleich sein, das ergibt:

$\frac{b}{g} = \frac{b-f}{f}$.

Die Division durch b und das Umformen der Gleichung ergibt:

$\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = \frac{1}{f}$

Diese Beziehung wird Abbildungsgleichung genannt.

In der Praxis ist die folgende Regel hilfreich. Sucht man die Bild- und Gegenstandsweiten zu einer gewünschten Vergrößerung $A = \frac{b}{g}$ bei gegebener Brennweite f, so gilt:

$b = \frac{A+1}{1} \cdot f$

und:

$g = \frac{A+1}{A} \cdot f$.

Um zum Beispiel eine 4-fache Vergrößerung zu erhalten, hat man b=5f und g=5/4f.

Diese Erklärungen beziehen sich auf eine dünne Linse, bei der die objektseitige und bildseitige Hauptebene zusammenfallen. Die Linsengleichung ist auch für dicke Linsen und Systeme aus mehreren Linsen gültig, deren Hauptebenen im Allgemeinen nicht zusammenfallen. Dann bezeichnet g den Abstand zwischen Objekt und objektseitiger Hauptebene, und b den Abstand zwischen Bild und bildseitiger Hauptebene. Eine äquivalente Formulierung stellt die Newtonsche Abbildungsgleichung dar. Will man die Brennweite bestimmen, sind das Bessel-Verfahren oder das Abbe-Verfahren vorzuziehen.

Den Zusammenhang zwischen Linsenform und Brennweite hingegen gibt die sogenannte Linsenschleiferformel an.

Weitere hilfreiche Regeln umgehen das Problem der für kommerzielle Kamerasysteme meist unbekannten Bildweite b. Um ein gewünschtes Blickfeld G über die Entfernung g auf die Sensorgröße B abzubilden, wird eine Brennweite f benötigt:

$f = \frac{B}{G+B} \cdot g$.

Für eine gegebene Brennweite f wird auf die Sensorgröße B das Blickfeld G im Abstand g bestimmt mit:

$G = \left( \frac{g}{f}-1 \right) \cdot B$.