Nilpotente Gruppe

Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert er für endliche Gruppen den Begriff der kommutativen Gruppe „so wenig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe ist nilpotent, aber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen sich (bis auf Isomorphie) eindeutig als direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen die p-Sylowgruppen die Rolle der zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe ist (bis auf Isomorphie) ein direktes Produkt ihrer p-Sylowgruppen. Die Definition des Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht auf dem allgemeineren Konzept einer Kette von Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), das im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird.

Definition

Sei G eine Gruppe, dann ist das Zentrum Z₁(G) = Z(G) der Gruppe ein Normalteiler von G. Das Urbild des Zentrums Z(G / Z(G)) unter der kanonischen Projektion $G\rightarrow G/Z(G)$ wird als Z₂(G) notiert. Setzt man dies weiter fort, so kommt man zu einer aufsteigenden Reihe von Untergruppen

$1=Z_0(G) \leq Z_1(G) \leq Z_2(G) \leq \cdots$

der aufsteigenden Zentralreihe von G. Jede Gruppe in der Reihe ist eine charakteristische Untergruppe, also erst recht Normalteiler von G, daher gilt $Z_k(G) \trianglelefteq Z_{k+1}(G)$. Die Zentralreihe ist eine Normalreihe von G.

Eine Gruppe, deren Zentralreihe bis zur Gruppe selbst aufsteigt, für die also eine Zahl n existiert, mit der Z_n(G) = G gilt, heißt nilpotent, die kleinste Zahl n mit dieser Eigenschaft Nilpotenzgrad oder -klasse der Gruppe G.

Eigenschaften

• Jede Untergruppe und jedes homomorphe Bild einer nilpotenten Gruppe ist nilpotent.
• Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar. (Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch.)

Klassifikation

• Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
• Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. Eine unendliche p-Gruppe ist nilpotent, wenn die Ordnung der Gruppenelemente beschränkt ist. (Beachte, dass diese Forderung stärker ist, als die Forderung endlicher Ordnung für Gruppenelemente, die durch die Definition der p-Gruppe ohnehin gewährleistet ist.)
• Eine endliche nilpotente Gruppe ist isomorph zum direkten Produkt ihrer p-Sylow-Untergruppen. Man beachte dabei, dass jede nilpotente Gruppe zu jeder Primzahl p genau eine (ggf. triviale) p-Sylow-Untergruppe besitzt.

Beispiele

• Eine Gruppe ist genau dann nilpotent vom Nilpotenzgrad 1, wenn sie abelsch ist.

• Es sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Die Menge der n×n-Matrizen der Form

$\begin{pmatrix}1&*&\cdots&*\\0&1&\ddots&\vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & *\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von K)

ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad n − 1.
Im Spezialfall n = 3, $K=\mathbb R$ trägt diese Gruppe auch den Namen Heisenberggruppe.

• Die Diedergruppe D_n mit n Elementen ist genau dann nilpotent, wenn n = 2^r gilt; in diesem Fall ist der Nilpotenzgrad gleich r − 1.

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9