Endlich erzeugte abelsche Gruppe

Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist eine abelsche Gruppe (G,+), in der es endlich viele Elemente $x_1,\ldots,x_s$ gibt, sodass jedes $x\in G$ in der Form

$x=n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + \ldots + n_s\cdot x_s$

geschrieben werden kann, wobei $n_1,\ldots,n_s$ ganze Zahlen sind und $n_i\cdot x_i$ die n_i-fache Verknüpfung von x_i mit sich selbst unter + ist. Wir sagen auch $\left\{x_1,\ldots,x_s\right\}$ sind die Erzeuger von G oder $x_1,\ldots,x_s$ erzeugen G.

Offensichtlich ist jede endliche abelsche Gruppe endlich erzeugt. Endlich erzeugte abelsche Gruppen sind von eher simpler Natur und können auf einfache Weise klassifiziert werden, wie weiter unten gezeigt wird.

Beispiele

• Alle endliche Gruppen sind endlich erzeugt.
• Die ganzen Zahlen (ℤ,+) sind eine endlich erzeugte Gruppe mit 1 als Erzeuger.
• Jede direkte Summe von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen ist wieder eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Die additive Gruppe der rationalen Zahlen (ℚ,+) ist nicht endlich erzeugt: Zu $x_1,\ldots,x_s$ wähle man eine natürliche Zahl w, die teilerfremd zu den Nennern aller x_i ist; 1/w wird dann nicht erzeugt von $x_1,\ldots,x_s$.

Klassifikation

Jede Untergruppe und Faktorgruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist wieder endlich erzeugt abelsch. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen zusammen mit den Gruppenmorphismen bilden eine abelsche Kategorie.

Man beachte, dass nicht jede abelsche Gruppe von endlichem Rang endlich erzeugt ist. ℚ zum Beispiel ist von Rang 1 aber nicht endlich erzeugt. Ein weiteres Beispiel ist die direkte Summe von unendlich vielen Kopien von ℤ₂, diese ist von Rang 0, aber auch nicht endlich erzeugt.

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G zu einer endlichen direkten Summe von zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist, und unendlichen zyklischen Gruppen isomorph ist.