Osterzyklus

In zwei aufeinander folgenden Osterzyklen sind die Osterdaten identisch. Ein solcher Zyklus besteht im Julianischen Kalender aus 532 Osterfesten, beziehungsweise ist 532 Jahre lang.^[1] Im Gregorianischen Kalender sind es 5 700 000 Osterfeste beziehungsweise 5 700 000 Jahre.^[1] Diese beiden Zeitintervalle heißen – abweichend vom Standard-Gebrauch des Begriffs Zyklus – Julianischer beziehungsweise Gregorianischer Osterzyklus.

Der Julianische Osterzyklus

Der Mondzirkel

Der Mondzirkel hat eine Länge von 19 Jahren. Alle 19 Jahre fällt der Frühlings-Vollmond wieder auf den gleichen Kalender-Tag.

Der Sonnenzirkel

Der Sonnenzirkel hat eine Länge von 28 Jahren. Alle 28 Jahre haben die Kalender-Tage – so auch die Sonntage, von denen einer der Ostersonntag ist – wieder das gleiche Datum.

Der Sonnenzirkel ist das kleinste gemeinsame Vielfache des Wochentags-Zirkels und des Schaltjahr-Zirkels (7 · 4 = 28). Alle sieben Tage ist wieder der gleiche Wochentag, und alle vier Jahre (Schaltjahre) verschieben sich die Wochentage um zwei Tage, anstatt einen Tag in einem Normaljahr.

Julianischer Osterzyklus

Das kleinste gemeinsame Vielfache aus Mond- und Sonnenzirkels ist das Produkt 19 · 28 = 532. Im Julianischen Kalender sind nach je 532 Jahren wieder 532 Ostern gleich auf die Jahresdaten verteilt wie die 532 Ostern vorher. Im Julianischen Kalender wiederholt sich die Verteilung von Ostern auf die Jahresdaten im Kalender alle 532 Jahre.

Der Gregorianische Osterzyklus

Grundsätzliches über die Änderungen im Gregorianischen Kalender im Vergleich zum Julianischen Kalender ist in der Osterrechnung mit Hilfe des Computus dargestellt.

Das Wesen der Reform bestand darin, dass das Zählschema, das der Julianische Kalender bot, verallgemeinert und damit „zukunftsfest“^[2] gemacht wurde. Der Gregorianische Kalender ist nicht ein grundsätzlich anderer, sondern ein flexibilisierter^[2] Julianischer Kalender.

Das zeitrechnerische Fundament – der Mondzirkel – wird auch künftig immer wenigstens ein Jahrhundert lang ohne Korrektur angewendet. Die Korrekturen erfolgen in Säkularjahren mit Hilfe der sogenannten Sonnengleichung und der sogenannten Mondgleichung.^[3] Durch die Anwendung dieser Gleichungen wird der Sonnenzirkel länger. Dem fundamentalen 19-jährigen Mondzirkel werden zwei weitere unabhängige Zirkel beigefügt.

Die Sonnengleichung

Als „Sonnengleichung“ wird die Maßnahme bezeichnet, in solchen Säkularjahren, deren Zahl nicht ohne Rest durch 400 teilbar ist, das Einfügen eines Schalttages zu unterlassen. Sie dient dazu, das Kalenderjahr besser an das Sonnen-Jahr anzupassen. Die Länge des Kalenderjahrs wird dadurch von 365,25 Tagen auf 365,24250 Tage verändert (das Sonnenjahr hat 365,24219 Tage).

Der verlängerte Sonnenzirkel

Durch Anwendung der Sonnengleichung hat sich der Schaltjahr-Zirkel von 4 auf 400 Jahre erhöht. Er stellt gleichzeitig den Sonnenzirkel dar, denn ein Datum fällt nach 400 gregorianischen Kalenderjahren wieder genau auf den gleichen Wochentag.
Kontrolle: 400 Jahre · 365,25 Tage/Jahr - 3 Tage = 146.097 Tage = 20.871 Wochen · 7 Tage/Woche.
Eine Multiplikation 400·7 entfällt.

Die Mondgleichung

Als „Mondgleichung“^[3] wird die Maßnahme bezeichnet, in einem Zeitraum von 2.500 Jahren die vorausgesagten Monddaten achtmal um je einen Tag im Kalender früher anzusetzen. Dadurch wird annähernd der Fehler behoben, der im fundamentalen 19-jährigen Mondzirkel enthalten ist. Die tatsächlichen Mondphasen verschieben sich nämlich im Julianischen Kalender in etwa 310 Jahren um einen Tag auf früher. Mit Hilfe der Mondgleichung wird diese Korrektur durchschnittlich alle 312,5 Jahre vorgenommen (2.500 / 8 = 312,5).

Erster zusätzlicher Mondzirkel

Durch die Anwendung der Mondgleichung fällt der Frühlingsvollmond nicht mehr auf nur 19 Kalendertage zwischen dem 21. März und dem 19. April, sondern auf alle 30 Kalendertage dieses Zeitraumes. In 2.500 Jahren werden die 19-Tage-Pakete 8 mal auf je einen früheren Kalendertag verschoben (Epakten-Verschiebung). Es sind 60 solcher Zeiträume abzuwarten, bis der Ausgangszustand wieder hergestellt ist. Der erste zusätzliche Mondzirkel ist 150.000 Jahre lang (60·2.500).

Zweiter zusätzlicher Mondzirkel

Der fundamentale 19-Jahre-Mondzirkel ist ausschließlich an das Zählschema des Julianischen Kalenders anzupassen, was mit der Mondgleichung geschieht. Durch Anwendung der Sonnengleichung zur Verbesserung der Länge des Kalenderjahres wird dieses Zählschema gestört. Deshalb muss bei einem ausfallenden Schalttag das Monddatum um einen Tag im Kalender auf später verschoben werden. In der Literatur wird auch in diesem Zusammenhang verkürzt von der Anwendung der Sonnengleichung gesprochen, insbesondere bei der Beschreibung des Computus mit der Hilfsgröße Epakte.^[4] Verwechslungen mit deren Anwendung zur Korrektur der Länge des Kalender-Jahres sind dadurch nicht auszuschließen.

In 400 Jahren werden die 19-Tage-Pakete 3 mal auf je einen späteren Kalendertag verschoben (Epakten-Verschiebung). Es sind 10 solcher Zeiträume abzuwarten, bis der Ausgangszustand wieder hergestellt ist. Der zweite zusätzliche Mondzirkel ist 4.000 Jahre lang (10·400).

Der Gregorianische Osterzyklus

Das Verteilschema für das Datum des Ostersonntags beginnt erst wieder von neuem, wenn alle an seiner Verteilung beteiligten Zirkel wieder am gleichen Kalendertag beginnen. Die Periode dieses Schemas ist das gemeinsame Vielfache der Perioden des verlängerten Sonnenzirkels (400 Jahre^[5]), des 19-Jahre-Mondzirkels (19 Jahre) und der beiden zusätzlichen Zirkel (4.000 und 150.000 Jahre^[6]).

Im Gregorianischen Kalender wiederholt sich die Verteilung von Ostern auf die Jahresdaten im Kalender alle 5.700.000 Jahre.

Kontrollrechnungen mit Hilfe der Gaußschen Osterformel

Siehe auch: Gaußsche Osterformel

Carl Friedrich Gauß formulierte den Oster-Algorithmus als einen Satz algebraischer Formeln. Im Folgenden wird ein mit den Ausnahmeregeln ergänzter Formel-Satz (siehe Eine ergänzte Osterformel)^[7] verwendet. In ihm ist der Algorithmus begrifflich vollständig formuliert und mit ihm mit Hilfe eines PC vollständig auswertbar.

Zur Bestimmung des Osterdatums für das Jahr X berechne man der Reihe nach folgende Größen:

 1. die Säkularzahl:                              K = X div 100
 2. die säkulare Mondschaltung:                   M = 15 + (3K + 3) div 4 − (8K + 13) div 25
 3. die säkulare Sonnenschaltung:                 S = 2 − (3K + 3) div 4
 4. den Mondparameter:                            A = X mod 19
 5. den Keim für den ersten Frühlingsvollmond:    D = (19A + M) mod 30
 6. die kalendarische Korrekturgröße:             R = D div 29 + (D div 28 − D div 29) (A div 11)
 7. die Ostergrenze:                             OG = 21 + D − R
 8. den ersten Sonntag im März:                  SZ = 7 − (X + X div 4 + S) mod 7
 9. die Entfernung des Ostersonntags von der
    Ostergrenze (Osterentfernung in Tagen):      OE = 7 − (OG − SZ) mod 7
10. das Datum des Ostersonntags als Märzdatum
    (32. März = 1. April usw.):                  OS = OG + OE

(div steht für eine ganzzahlige Division, d. h. Nachkommastellen werden abgeschnitten. mod steht für den nicht-negativen Divisionsrest bei einer ganzzahligen Division.) Der vorstehende Algorithmus gilt für den Gregorianischen Kalender. Für den Julianischen Kalender setzt man M = 15 und S = 0.

Wenn man nun die Jahreszahl X durch die Jahreszahl X+5.700.000 ersetzt, so verändern sich die im Algorithmus auftretenden Größen in der folgenden Weise:

K → K + 57.000

M → M + 24.510

S → S − 42.750

Die weiteren Größen A, D, R, OG, SZ, OE und OS verändern sich nicht. Daher erhält man wieder das gleiche Osterdatum.

Damit ist gezeigt, dass sich das Osterdatum nach 5.700.000 Jahren immer wiederholt.

Es ist aber noch zu untersuchen, ob sich das Osterdatum auch nach einem Bruchteil dieser Zeitdauer wiederholt. Die Zahl 5.700.000 ist nur durch folgende Primzahlen teilbar: 2, 3, 5 und 19. Das Osterdatum könnte sich daher auch alle 5.700.000/2 Jahre, alle 5.700.000/3 Jahre, alle 5.700.000/5 Jahre oder alle 5.700.000/19 Jahre wiederholen. Die folgenden Rechenbeispiele zeigen, dass das nicht so ist.

a) Das Jahr 2010:

X = 2010, K = 20, M = 24, S = -13, A = 15, D = 9, R = 0, OG = 30, SZ = 7, OE = 5, OS = 35

Ostern am 4. April („35. März“). Mit diesem Datum werden die folgenden Beispiele verglichen:

b) Das Jahr 2.852.010 ( = 2010 + 5.700.000/2):

X = 2.852.010, K = 28.520, M = 12.279, S = -21.388, A = 15, D = 24, R = 0, OG = 45, SZ = 7, OE = 4, OS = 49

Ostern am 18. April („49. März“). Eine Wiederholung der Osterdaten alle 2.850.000 (= 5.700.000/2) Jahre findet nicht statt.

c) Das Jahr 1.902.010 ( = 2010 + 5.700.000/3):

X = 1.902.010, K = 19.020, M = 8.194, S = -14.263, A = 15, D = 19, R = 0, OG = 40, SZ = 7, OE = 2, OS = 42

Ostern am 11. April („42. März“). Eine Wiederholung der Osterdaten alle 1.900.000 (= 5.700.000/3) Jahre findet nicht statt.

d) Das Jahr 1.142.010 ( = 2010 + 5.700.000/5):

X = 1.142.010, K = 11.420, M = 4.926, S = -8.563, A = 15, D = 21, R = 0, OG = 42, SZ = 7, OE = 7, OS = 49

Ostern am 18. April („49. März“). Eine Wiederholung der Osterdaten alle 1.140.000 (= 5.700.000/5) Jahre findet nicht statt.

e) Das Jahr 302.010 ( = 2010 + 5.700.000/19):

X = 302.010, K = 3.020, M = 1.314, S = -2.263, A = 5, D = 29, R = 1, OG = 49, SZ = 7, OE = 7, OS = 56

Ostern am 25. April („56. März“). Eine Wiederholung der Osterdaten alle 300.000 (= 5.700.000/19) Jahre findet nicht statt.

Eine Wiederholung der Ostertermine findet nur alle 5.700.000 Jahre statt.

Literatur

• Friedrich Karl Ginzel: Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie. Band 3: Zeitrechnung der Makedonier, Kleinasier und Syrer, der Germanen und Kelten, des Mittelalters, der Byzantiner (und Russen), Armenier, Kopten, Abessinier, Zeitrechnung der neueren Zeit, sowie Nachträge zu den drei Bänden. Hinrichs, Leipzig 1914.
• Marcus Gossler: Begriffswörterbuch der Chronologie und ihrer astronomischen Grundlagen. Mit einer Bibliographie. Zweite, verbesserte Auflage. Universitätsbibliothek, Graz 1985 (Universitätsbibliothek Graz – Bibliographische Informationen 12).

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Marcus Gossler:Begriffswörterbuch der Chronologie und ihrer astronomischen Grundlagen, Universitätsbibliothek Graz, 1981, S. 115
2. ↑ ^{a b} Heiner Lichtenberg: Das anpassbar zyklische, soliluneare Zeitzählungssystem des Gregorianischen Kalenders – Ein wissenschaftliches Meisterwerk der späten Renaissance. Mathematische Semesterberichte, Band 50, 2003, S.47
3. ↑ ^{a b} Der Wort-Teil „Gleichung“ bedeutete im Mittelalter „Korrektur“. Siehe N. Dershowitz, E. M. Reingold: Calendrical Calculations. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-70238-6, Seite 182
4. ↑ Verringerung der Epakte bei Anwendung der Sonnengleichung (in b))
5. ↑ Dieser 400 Jahre lange Zirkel ist schon ganzzahlig im zweiten zusätzlichen Mondzirkel enthalten.
6. ↑ Nikolaus A. Bär rechnet von vorn herein mit einem einzigen zusätzlichen Mondzirkel von 300.000 Jahren Länge (43 Epaktenverschiebungen in 10.000 Jahren). [1]
7. ↑ Physikalisch-Technische Bundesanstalt: Wann ist Ostern?