Oszillatormodell

Das Oszillatormodell ist ein Modell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen. Dazu geht man von einem externen harmonischen Feld aus:

$\vec E(t)=\vec E_0 e^{-i\omega t}$

Auf ein Elektron im Atom wirkt dann die Kraft $\vec F=q\vec E(t)=-e\vec E(t)$. Als Bewegungsgleichung setzt man die eines gedämpften harmonischen Oszillators an:

$m_e\,\ddot{\vec{r}}+m_e\,\Gamma\,\dot{\vec{r}}+m_e\,\omega_0^2\,\vec r=-e\vec E(t)$

Dabei bezeichnen m_e die Masse des Elektrons, Γ die Dämpfung (Atomstöße, Strahlungsverluste, etc.) und ω₀ die Eigenfrequenz.

Nach einiger Zeit sind die Einschwingungprozesse abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der Frequenz ω des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung machen wir folgenden Ansatz:

$\vec r_\mathrm{inhom}(t)=\vec a\,e^{-i\omega t}$

$\vec a$ stellt eine (konstante) komplexe Amplitude dar. Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das atomare Dipolmoment:

$\vec p(t)=\alpha_e(\omega)\vec E(t)=\frac{e^2/m_e}{\omega_0^2-\omega^2-i\,\Gamma\,\omega}\vec E(t)$

Dabei bezeichnet α_e die elektrische Polarisierbarkeit.

Wirkungsquerschnitte

Aus diesen Überlegungen erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht:

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{e^2}{m_e\,c^2}\right)^2\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}\sin^2\theta$

θ ist hierbei der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies hat die Form einer Resonanzkurve.

Der totale Wirkungsquerschnitt ergibt sich daraus zu:

$\sigma(\omega)=\frac{8\pi}{3}\left(\frac{e^2}{m_e\,c^2}\right)^2\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}$

Daraus ergeben sich die Grenzfälle von Thomson-Streuung ($\omega\gg\omega_0$), Rayleigh-Streuung ($\omega\ll\omega_0$) und Resonanzfluoreszenz (ω = ω₀).