Parallelitätsoperator

Parallelitätsoperator
Grafische Interpretation des Parallelitätsoperators mit {}_{a \| b = c}

Der Parallelitätsoperator {}_{\|} (sprich: „parallel“) ist eine mathematische Funktion, die vor allem als Kurzschreibweise in der Elektrotechnik zur Anwendung kommt. Er bildet hierbei den Kehrwert einer Summe von Kehrwerten und ist definiert durch

\begin{matrix}\|:\ & \mathbb{C} \times \mathbb{C} &\to& \mathbb{C}\\
& a \| 0 &\mapsto& 0\\
& a \| b &\mapsto& \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}
\end{matrix}

mit

b \ne -a.

Es gilt weiters:

a,b\in \mathbb R \land \left| a \right| > \left| b \right| :\ \left| b \right| > \left| a \| b \right|.

Als Spezialfall gilt:

a\|a = \frac{a}{2}.

Rechenregeln

Aufgrund der Addition folgt der Parallelitätsoperator dem Assoziativgesetz:

 \left( a \| b \right) \| c = a \| \left( b \| c \right) = a \| b \| c

und dem Kommutativgesetz:

a \| b = b\| a.

Der Parallelitätsoperator besitzt kein neutrales Element und kein inverses Element.

Beispiele

Beispiel 1
Frage:
Ein Maurer baut eine Ziegelwand in 5 Stunden. Ein zweiter Maurer baut dieselbe Ziegelwand in 7 Stunden. Wie lange dauert es, wenn beide Maurer an der Ziegelwand gleichzeitig arbeiten?
Lösung:
t_{M1} \| t_{M2} = 5\,\mathrm h \| 7\,\mathrm h = \frac{1}{\frac{1}{5\,\mathrm h} + \frac{1}{7\,\mathrm h}} \approx 2{,}917\,\mathrm h
Es dauert also knapp 3 Stunden.
Beispiel 2
Frage:
Drei Widerstände {}_{R_1 = 270\,\mathrm{k\Omega}}, {}_{R_2 = 180\,\mathrm{k\Omega}} und {}_{R_3 = 120\,\mathrm{k\Omega}} werden in Parallelschaltung geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung?
Antwort:
R_1 \| R_2 \| R_3 = 270\,\mathrm{k\Omega} \| 180\,\mathrm{k\Omega} \| 120\,\mathrm{k\Omega} = \frac{1}{\frac{1}{270\,\mathrm{k\Omega}} + \frac{1}{180\,\mathrm{k\Omega}}+ \frac{1}{120\,\mathrm{k\Omega}}} \approx 56{,}842 \,\mathrm{k\Omega}
Die Schaltung besitzt also einen Gesamtwiderstand von rund 57 kΩ.

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