Parallelitätsoperator

Grafische Interpretation des Parallelitätsoperators mit ${}_{a \| b = c}$

Der Parallelitätsoperator ${}_{\|}$ (sprich: „parallel“) ist eine mathematische Funktion, die vor allem als Kurzschreibweise in der Elektrotechnik zur Anwendung kommt. Er bildet hierbei den Kehrwert einer Summe von Kehrwerten und ist definiert durch

$\begin{matrix}\|:\ & \mathbb{C} \times \mathbb{C} &\to& \mathbb{C}\\ & a \| 0 &\mapsto& 0\\ & a \| b &\mapsto& \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \end{matrix}$

mit

$b \ne -a$.

Es gilt weiters:

$a,b\in \mathbb R \land \left| a \right| > \left| b \right| :\ \left| b \right| > \left| a \| b \right|$.

Als Spezialfall gilt:

$a\|a = \frac{a}{2}$.

Rechenregeln

Aufgrund der Addition folgt der Parallelitätsoperator dem Assoziativgesetz:

$\left( a \| b \right) \| c = a \| \left( b \| c \right) = a \| b \| c$

und dem Kommutativgesetz:

$a \| b = b\| a$.

Der Parallelitätsoperator besitzt kein neutrales Element und kein inverses Element.

Beispiele

Beispiel 1

Frage:

Ein Maurer baut eine Ziegelwand in 5 Stunden. Ein zweiter Maurer baut dieselbe Ziegelwand in 7 Stunden. Wie lange dauert es, wenn beide Maurer an der Ziegelwand gleichzeitig arbeiten?

Lösung:

$t_{M1} \| t_{M2} = 5\,\mathrm h \| 7\,\mathrm h = \frac{1}{\frac{1}{5\,\mathrm h} + \frac{1}{7\,\mathrm h}} \approx 2{,}917\,\mathrm h$

Es dauert also knapp 3 Stunden.

Beispiel 2

Frage:

Drei Widerstände ${}_{R_1 = 270\,\mathrm{k\Omega}}$, ${}_{R_2 = 180\,\mathrm{k\Omega}}$ und ${}_{R_3 = 120\,\mathrm{k\Omega}}$ werden in Parallelschaltung geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung?

Antwort:

$R_1 \| R_2 \| R_3 = 270\,\mathrm{k\Omega} \| 180\,\mathrm{k\Omega} \| 120\,\mathrm{k\Omega} = \frac{1}{\frac{1}{270\,\mathrm{k\Omega}} + \frac{1}{180\,\mathrm{k\Omega}}+ \frac{1}{120\,\mathrm{k\Omega}}} \approx 56{,}842 \,\mathrm{k\Omega}$

Die Schaltung besitzt also einen Gesamtwiderstand von rund 57 kΩ.