Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung eines geladenen Spin-1/2-Teilchens, etwa eines Elektrons, das sich so langsam im elektromagnetischen Feld bewegt, dass die Feldenergie und die kinetische Energie klein gegen die Ruheenergie ist. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödinger-Gleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Mit diesem Term kann man das Verhalten von Silberatomen beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen. Fliegen sie durch ein inhomogenes Magnetfeld, so werden sie je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufgespalten.

Die Pauli-Gleichung lautet:

$\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi = \underbrace{ \left( \frac{(\vec p- q \vec A)^2}{2\, m} + q \,\phi \right)}_{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi - g\,\underbrace{\frac{q\,\hbar }{2\,mc}\,\frac{\vec{ \sigma}}{2} \cdot \vec B}_{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi\,.$

Hier bezeichnet

• $\varphi=\begin{pmatrix}\varphi_\uparrow(t,\vec{x})\\ \varphi_\downarrow(t,\vec{x})\end{pmatrix}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion,
• $p^i=-\mathrm i \hbar \partial_{x^i}\,,i\in\{1,2,3\}\,,$ die i-te Komponente des Impulses,
• $\, q$ die elektrische Ladung des Teilchens,
• $\, m$ die Masse des Teilchens,
• $\, \phi$ das skalare elektrische Potential,
• $\vec A$ das Vektorpotential,
• $\, g$ den gyromagnetischen Faktor,
• $\vec{\sigma}$ die Pauli-Matrizen,
• $\vec{S}=\hbar\,\frac{\vec{ \sigma}}{2}$ den Spin-Operator,
• $\vec B=\text{rot}\,\vec{A}$ das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld $\vec{B}$ koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor g stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls $\vec{L}\,,$

$\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi = \frac{\vec p^2}{2\, m} \varphi - \frac{q }{2\,m\,c}\,\bigl(\vec L + g \,\vec S\bigr) \cdot \vec B\,\varphi\,.$

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert g = 2 für den gyromagnetischen Faktor voraus. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

$g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.$

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung der Pauli-Gleichung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\, \vec \pi \,\varphi_2\\ \vec{\sigma}\, \vec \pi \,\varphi_1\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) + m\,c^2\, \left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\-\varphi_2\end{array} \right)$   mit   $\vec \pi = \vec p - q\, \vec A$

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

$\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{array} \right) = \mathrm e^{-\mathrm i \frac{\displaystyle m\,c^2\,t}{\displaystyle \hbar}} \left( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right)$

die Zeitableitung der Zweierspinoren φ und χ klein ist.

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\, \vec \pi \,\chi\\ \vec{\sigma}\, \vec \pi \,\varphi\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\-2\,m\,c^2\, \chi \end{array} \right)$

In der letzten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenenergie $m\,c^2\,.$ Daher ist χ klein gegen φ und ungefähr gleich

$\chi \approx \frac{\vec \sigma\vec{\pi}\,\varphi}{2\,m\,c}\,.$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{(\vec \sigma\, \vec \pi)^2}{2\,m} \,\varphi +q\, \phi\, \varphi\,.$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

$(\vec \sigma\, \vec \pi)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j= (\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j= \vec{\pi}^2 - \frac {q\,\hbar}{c}\, \vec{\sigma}\,\vec{B}\,.$

Der Spinor φ genügt daher der Pauli-Gleichung mit g = 2,

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec \pi ^{\,2}}{2\,m} \,\varphi + q\,\phi\,\varphi -\frac{q\,\hbar}{2\,mc}\,\vec{\sigma}\,\vec{B}\,\varphi\,.$

Im homogenen Magnetfeld gilt $\phi=0\,,\,\vec{A}=\frac{1}{2}\,\vec B \times\vec{x}\,,$ und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

$(\vec p-q \vec A)^2 = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec{x}\times\vec p\cdot \vec{B} = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec L\cdot\vec B\,,$

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in $\vec{B}$ sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec p^{\,2}}{2\,m} \,\varphi -\frac{q}{2\,mc}\,(\vec{L} + g\, \vec{S} )\cdot\vec{B}\,\varphi\,.$

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls $\vec{L}$ und trägt nicht nur $-\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B$ zur Energie bei. Der Faktor $\frac{q\,\hbar }{2\,m}$ wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist $\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B$ ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke $|\vec{B}|\,.$ Dagegen ergibt $\frac{\vec S}{\hbar}\cdot\vec B$ ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. ^[1]

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls, und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Quellen

• Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I). 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (Springer-Lehrbuch).
• Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (Springer-Lehrbuch).
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantum Mechanics. Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (A Wiley-Interscience Publication).