Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen σ₁,σ₂,σ₃ (nach Wolfgang Pauli) bilden eine Basis der hermiteschen, spurfreien 2×2-Matrizen und stellen die Wirkung der Drehimpulsoperatoren, $S_i = \tfrac{\hbar}{2}\, \sigma _i\,,\ i\in\{1,2,3\}\,,$ auf Spin-½-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\sigma _ 1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,, \quad \sigma _ 2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}\,, \quad \sigma _ 3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,.$

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix	Matrix	Linearkombination (Standard-Basisvektoren)	Linearkombination (Eigenvektoren)
σ1 = σx	$\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}$	$|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$	$|+\rangle\langle+|-|-\rangle\langle-|$
σ2 = σy	$\begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix}$	$\mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right)$	$|\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-|$
σ3 = σz	$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}$	$|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|$	$|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|$

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert:

$\begin{align} |0\rangle&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},& |1\rangle&=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\\[0.5em] |+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},& |-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\\[0.5em] |\phi^+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix},& |\phi^-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}\mathrm i\\1\end{pmatrix} \end{align}$

Eigenschaften

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = \mathbf{1}$

wobei $\mathbf{1}$ die Einheitsmatrix ist. Die Einheitsmatrix wird manchmal auch als $\mathbf{\sigma_0}$ bezeichnet.

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind:

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{für}\ i = 1, 2, 3. \end{matrix}$

Aus obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix $\mathbf{\sigma_i}$ die Eigenwerte +1 und -1 besitzt.

Des Weiteren:

$\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = i\mathbf{1}$

Die Pauli-Matrizen erfüllen die Algebra

$\sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij}\mathbf{1} + \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,$

(Schreibweise in einsteinscher Summenkonvention, $\epsilon_{ijk}$ ist das Levi-Civita-Symbol),
also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

$[\sigma_i\, ,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,$

und die Clifford- oder Dirac-Algebra $Cl(0,3,\mathbb R)$

$\{\sigma_i\, ,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\mathbf{1}\,.$

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall l = 1 / 2 von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren Λ_m eines Drehimpuls-l-Multipletts mit Quantenzahlen m in Maßsystemen mit $\hbar=1$ folgendermaßen wirken

$L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,$

$L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,$

$L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.$

Dabei ist 2l + 1 eine natürliche Zahl und für m treten die 2l + 1 verschiedenen Quantenzahlen $m=-l,-l+1,\dots ,l$ auf. Für l = 1 / 2 wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren Λ_{1 / 2} und Λ _{− 1 / 2} demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

$L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.$

Mit $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ und $L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-)$ ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe

Die drei Pauli-Matrizen σ_i bilden zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra, und aufgrund der Identität^[1]

$\exp\Bigl(-\mathrm i\,\frac{\alpha}{2}\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n}\Bigr) = \mathbf{1}\,\cos\frac{\alpha}{2}- (\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n})\, \mathrm{i}\, \sin\frac{\alpha}{2}$

sind die Pauli-Matrizen auch die Generatoren der komplexen Drehgruppe SU(2). $\mathbf n$ ist dabei die Drehachse als Einheitsvektor im $\mathbb R^3$ und α der Drehwinkel, der von 0 bis $4\pi\,$ läuft. Für α = 2π ergibt sich $\exp\bigl(-\mathrm i\,\pi\mathbf \sigma\,\cdot \mathbf n\bigr) = -\mathbf 1$. D.h. ein Spin-1/2-Zustand wird erst durch eine Drehung um den Winkel 4π reproduziert.

Eigenvektoren

Die Matrix σ₃ hat die Eigenvektoren

$\chi_{31} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \chi_{32} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$

wie man leicht erkennen kann:

$\sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array}\right) = -1 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$

entsprechend den Eigenwerten $\pm 1$. Die Eigenvektoren von σ₁ sind

$\chi_{11} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \chi_{12} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right):$

$\sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) = -1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)$

und die Eigenvektoren von σ₂

$\chi_{21} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mathrm i \end{array}\right), \quad \chi_{22} = \left(\begin{array}{c} \mathrm i \\ 1 \end{array}\right):$

$\sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mathrm i \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mathrm i \end{array}\right), \quad \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} \mathrm i \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} - \mathrm i \\ -1 \end{array}\right) = -1 \left(\begin{array}{c} \mathrm i \\ 1 \end{array}\right)$

Hier zeigt sich, dass die Eigenzustände der Spinoperatoren S₁ und S₂ Superpositionen der Eigenzustände von S₃ sind.

Siehe auch

• Quaternionen
• Gell-Mann-Matrizen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pauli Matrices. In: MathWorld. (englisch)

Literatur

1. ↑ Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. S. 1142, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0