Gell-Mann-Matrizen

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der Speziellen Unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als T_i mit i=1..8 schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

$\left[T^a,T^b\right]={i}\,f^{abc}\,T^c$

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die f^abc werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

$f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=\frac{1}{2},~f^{156}=f^{367}=-\frac{1}{2},~f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

$T^a=\frac{1}{2}\lambda^a$

Sie sind als 3x3-Matrizen gewählt und haben die Form:

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Sie erfüllen folgende Eigenschaften:

• Sie sind hermitesch
• $\,\mathrm{tr}(\lambda_i)=0$
• $\,\mathrm{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$

Anwendung finden sie z.B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3x3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

• Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)xSU(2)xU(1))
• Quarks

Literatur

• Lie algebras in particle physics, by Howard Georgi (ISBN 0-7382-0233-9)
• The quark model, by J. J. J. Kokkedee