Pellsche Gleichung

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611−1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form

$x^2 - dy^2=1\,\!$

mit positiv ganzzahligem d.

Ist d eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung offenbar nur die trivialen Lösungen (±1, 0). Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit der Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{d}$ bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen $x^2 - dy^2= -1\,\!$ und $x^2 - dy^2=\pm 4\,\!$ werden oft auch Pellsche Gleichungen genannt.

Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.^[1]

Algebraische Zahlentheorie

Das Auffinden aller Lösungen ist für spezielle d äquivalent dazu, die Einheiten des Ganzheitsrings von $\mathbf{Q}(\sqrt{d})$ zu finden. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz hat die Einheitengruppe den Rang 1, und so gibt es eine Fundamentaleinheit (oder auch Grundeinheit ) $\varepsilon = x_0 + \sqrt{d}y_0$, so dass sich alle Lösungen als $\pm \varepsilon^n, n \in \mathbf{Z}$ darstellen lassen.

Lösungsmöglichkeiten

Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung

Aus der Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{d}$ erzeugt man die in diesem Fall unendliche und periodische Folge der an der n'ten Stelle abgebrochenen Annäherungen. Zum Beispiel hat $\sqrt{13}$ die Kettenbruchentwicklung

$\sqrt{13} = [3;\overline{1,1,1,1,6}]$

Bricht man die Entwicklung jeweils an der Stelle n ab, so erhält man beginnend mit n = 1

$\sqrt{13} \approx \frac{3}{1}, \frac{4}{1}, \frac{7}{2}, \frac{11}{3},\frac{18}{5}_{n=5},\frac{119}{33},\frac{137}{38},\frac{256}{71}, \frac{393}{109}, \frac{649}{180}_{n=10}, \frac{4287}{1189},\dots$

und findet an den Stellen n = 5 und n = 10 die Lösungen

$\begin{align} x_0 &= 18, &y_0 &= 5\\ x_1 &= 649, &y_1 &= 180\\ \end{align}$

weiter stellt man fest, dass für d = 13 jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge $n=5 k, k \in \mathbb N$ eine Lösung der Pellschen Gleichung ist.

Generieren weiterer Lösungen auf Basis einer bekannten

Ist eine Lösung x₀,y₀ bekannt, so lassen sich weitere Lösungen mit einer Matrizenmultiplikation bestimmen. Es gilt

$\begin{pmatrix} x_{i+1}\\ y_{i+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 & d y_0 \\ y_0 & x_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i\\y_i \end{pmatrix}$

Beispiel

Die Pellsche Gleichung für d = 5 hat die Minimallösung (x₀ = 2,y₀ = 1). Die nächsten Lösungen ergeben sich dann zu

$\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\\ 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 38\\ 17 \end{pmatrix}$

usw.

Das Rinderproblem des Archimedes

Bei der Lösung des Rinderproblems des Archimedes stößt man auf die Pellsche Gleichung $x^2 - 4729494 \cdot y^2 = 1$ mit Minimallösung (109931986732829734979866232821433543901088049,50549485234315033074477819735540408986340), wenn man geschickt rechnet – andernfalls wird man eine Pellsche Gleichung mit viel größerer Minimallösung lösen müssen.

Literatur

• H. W. Lenstra Jr.: Solving the Pell Equation, Notices of the American Mathematical Society 49 (2), 2002, 182-192, online.

Weblinks

• Die Pellsche Gleichung - Marc Götze, Universität Bielefeld, WS 2005/2006 (PDF-Datei; 107 kB)
• Pell Equation in Wolfram's Math World (Englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.