- Ganzheitsring
-
Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller algebraischen Zahlen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring
von K definiert als der ganze Abschluss von
in K, d.h. die Teilmenge derjenigen
, die eine Gleichung der Form
mit
erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von xn (der Leitkoeffizient des Polynoms
) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet das Polynom dann als normiert.
Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.
Eigenschaften
ist ein Dedekindring.
Beispiele
- Ist
, so ist
der Ring der Eisenstein-Zahlen
-
mit
- Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
- X2 − (2u − v)X + (u2 − uv + v2).
- Erfüllt umgekehrt
die Polynomgleichung
- x2 + px + q = 0 mit
- x2 + px + q = 0 mit
- so folgt p = − 2a und q = a2 + 3b2. Man kann zeigen, dass dann a + b und 2b ganzzahlig sind, also ist
- eine Eisenstein-Zahl.
- Ist
, so ist
der Ring der ganzen gaußschen Zahlen
.
- Allgemein sieht für den Ganzheitsring von
(wobei d ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
-
falls d kongruent 2 oder 3 mod 4
falls d kongruent 1 mod 4
- Bezeichnet ζ eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des n-ten Kreisteilungskörpers
gleich
.
- Ist
der Schiefkörper der rationalen Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“)
-
- mit rationalen Zahlen
,
,
,
, so ist
der Ring der Hurwitzquaternionen
.
Siehe auch
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