Einheitengruppe

In der Mathematik ist die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente. Sie ist mit der Ringmultiplikation eine Gruppe.

Besonders interessant sind die Einheitengruppen von (unitären) assoziativen Algebren. Diese können als eine Verallgemeinerung der allgemeinen linearen Gruppe angesehen werden.

Definition

Sei R ein Ring mit 1. Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente (Einheiten) von R bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe. Sie wird Einheitengruppe von R genannt. Man schreibt die Einheitengruppe meist als R ^* oder als $R^\times$. Die Definition kann allgemeiner mit Monoiden gefasst werden.

Eigenschaften und verwandte Begriffe

• Ein kommutativer Ring mit 1, dessen Einheitengruppe aus allen Elementen außer der Null besteht, ist bereits ein Körper.
• Ist das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal, dann nennt man den Ring lokal.

Beispiele

• Die Einheitengruppe des Rings $\Bbb Z$ der ganzen Zahlen besteht aus den beiden Elementen 1 und -1.
• Die Einheitengruppe des Rings $\Bbb Q$ der rationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen ungleich der Null, $\Bbb Q$ ist also ein Körper.
• Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1, 3, 7 und 9.
• Die Einheitengruppe des Matrizenrings der $n\times n$-Matrizen mit Koeffizienten in einem Körper K heißt allgemeine lineare Gruppe GL(n,K). $\mathrm{GL}(n,\R)$ und $\mathrm{GL}(n,\Bbb C)$ sind Lie-Gruppen.

Die multiplikative Gruppe als algebraische Gruppe

Als multiplikative Gruppe wird auch die zugehörige algebraische Gruppe bezeichnet:

• In der Sprache der Varietäten ist die multiplikative Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k die affine Varietät $k^\times$ mit der Körpermultiplikation als Gruppenoperation.
• In der Sprache der Schemata ist die multiplikative Gruppe das Schema $\operatorname{Spec}\mathbb Z[T,T^{-1}]$ mit der Komultiplikation $T\mapsto T\otimes T$; die multiplikative Gruppe über anderen Schemata erhält man durch Basiswechsel.
• In der Sprache der Gruppenfunktoren ist die multiplikative Gruppe der Funktor

$A\mapsto A^\times$

für Ringe A bzw.

$S\mapsto\Gamma(S,\mathcal O_S^\times)=\Gamma(S,\mathcal O_S)^\times$

für Schemata S.

Die multiplikative Gruppe wird mit dem Symbol $\mathbb G_\mathrm m$ oder mit GL₁ bezeichnet; sie ist ein Spezialfall der allgemeinen linearen Gruppe.

Weblinks

Ausführliche Herleitung von Beispiel 3