Pentatopzahl

Eine Pentatopzahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$

aus einer natürlichen Zahl n berechnen lässt. Die ersten Pentatopzahlen sind

0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, … (Folge A000332 in OEIS)

Bei einige Autoren ist die Null keine Pentatopzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Der Name Pentatopzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Pentatops ab. Das Pentatop ist jedoch ein vierdimensionaler Körper und entzieht sich somit unserem Vorstellungsvermögen. Würde man ein Pentatop der Seitenlänge gleichmäßig aus Kugeln bauen, so wäre die Anzahl der Kugeln, die man dazu benötigt, mit einer Pentatopzahl identisch.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Pentatopzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Kubikzahlen gehören.

Reguläre figurierte Zahlen

Zu den regulären figurierten Zahlen gehören:

• Zweidimensional: Dreieckszahlen

Die n-te Dreieckszahl D_n ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen:

$D_{n} = \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2+ \cdots + n$

• Dreidimensional: Tetraederzahlen

Die n-te Tetraederzahl T_n ist die Summe der ersten n Dreieckszahlen:

$T_n = \sum_{k=1}^n D_k = D_1 + D_2+ \cdots + D_n$

Pentatopzahlen

Die nächsten regulären figurierten Zahlen sind dann die Pentatopzahlen

$\text{Ptop}_n = \sum_{k=1}^n T_n = T_1 + \cdots + T_n$

als Summe der ersten Tetraederzahlen.

Eigenschaften

• In der Folge der Pentatopzahlen sind abwechselnd vier Zahlen ungerade und gerade.
• Alle regulären figurierten Zahlen stehen im Pascalschen Dreieck. Insbersondere gilt für die n-te Pentatopzahl:

$\text{Ptop}_n = {{n+3} \choose {4}}$

Daraus leitet sich obige direkte Berechnungsformel ab.

• Die Reihe der Kehrwerte ist konvergent: Es gilt:

$\sum_{k=1}^\infty \text{Ptop}_k^{-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{24}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{4}{3}.$

• Die erzeugende Funktion der Pentatopzahlen lautet:

$\frac{x}{(1-x)^5} = \mathbf 1x+\mathbf 5x^2+\mathbf{15}x^3+\mathbf{35}x^4+\mathbf{70}x^5+\cdots$

Weblinks

• Jutta Guts Seite über Figurierte Zahlen
• Eric W. Weisstein: Pentatopzahl. In: MathWorld. (englisch)