Poisson Gleichung

Poisson Gleichung

Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) beschreibt ein Randwertproblem, bei welchem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.


Inhaltsverzeichnis

Mathematische Formulierung

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein:

\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\,\Phi(x,y,z) = -f(x,y,z)\,.

Bei Angabe der Funktionswerte oder der Normalenableitung der Funktion Φ auf dem Rand des Gebietes ist die Lösung eindeutig und hängt stetig von den Randwerten und von f ab.

Der Differentialoperator in der Poisson-Gleichung

\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}

ist der Laplace-Operator. Die homogene Poisson-Gleichung, \Delta \Phi = 0\,, heißt Laplace-Gleichung.

Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential. Dabei ist f proportional zur elektrischen Ladungsdichte beziehungsweise zur Massendichte.

Für eine räumlich beschränkte Ladungsdichte f ist die Lösung der Poisson-Gleichung Φ, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral

\Phi(\mathbf x)=\frac 1 {4\,\pi} \int \mathrm 
d^3 \mathbf y \,
\frac{f(\mathbf y)}{|\mathbf x - \mathbf y |}\,.

Jede Ladung \mathrm d^3 \mathbf y \,f(\mathbf y) am Ort \mathbf y im kleinen Gebiet der Größe \mathrm d^3 \mathbf y trägt additiv zum Potential am Ort \mathbf x mit ihrem Coulomb-Potential (oder Kepler-Potential) \frac{\mathrm d^3 \mathbf y\,f(\mathbf y)}{4\,\pi\,|\mathbf x - \mathbf y |} bei.

Anwendungen in der Physik

Elektrostatik

Da das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials \Phi(\mathbf r) ausgedrückt werden, mit

\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla \Phi(\mathbf r).

Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich

\nabla \mathbf E(\mathbf r)= -\Delta \Phi(\mathbf r).

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

\nabla \mathbf E(\mathbf r)=\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0},

wobei \rho(\mathbf r) die Ladungsdichte und ε0 die Permittivität sind.

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

\Delta \Phi(\mathbf r)=-\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}

Gravitation

Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu

\mathbf g=-\frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r}.

Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann

\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \, \mathbf n \, \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \frac{\mathbf r}{r} \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A,

wobei \mathbf n=\frac{\mathbf r}{r} der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt

dA=r^2 \sin(\theta) \, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi,

woraus folgt

-\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2} r^2 \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi=-\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} GM  \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi= -4 \pi G M

Aus einer durch eine Massendichte \rho(\mathbf r) beschriebene Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu

M=\int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V.

Damit folgt

-4 \pi G M = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V.

Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch

\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A=\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V,

und somit

\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V.

Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass

\nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho(\mathbf r)

ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung

\mathbf g = -\nabla \Phi(\mathbf r)

gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

\nabla (\nabla \Phi(\mathbf r)) = \Delta \Phi(\mathbf r)= 4 \pi G \rho(\mathbf r),

wobei sich das Minuszeichen weghebt.

Quellen

Weblinks

Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Poisson-Gleichung —   [pwa sɔ̃ ; nach S. D. Poisson],    1) Elektrostatik: Bestimmungsgleichung für das skalare elektrische Potenzial ϕ (r), das durch eine gegebene Raumladungsdichte ρ (r) erzeugt wird (r Ortsvektor). Sie lautet: Δϕ = ρ / ε0 (Δ …   Universal-Lexikon

  • Poisson-Gleichung — Die Poisson Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung… …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson — ist der Name von David Poisson (* 1982), französischer Skirennläufer Georges Poisson (* 1924), Architektur und Literaturhistoriker Jeanne Antoinette Poisson, marquise de Pompadour (1721–1764), „Madame de Pompadour“ Siméon Denis Poisson… …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson —   [pwa sɔ̃], Siméon Denis, französischer Mathematiker und Physiker, * Pithiviers (Département Loiret) 21. 6. 1781, ✝ Paris 25. 4. 1840; ab 1800 an der École Polytechnique (1806 Professor). Poisson stellte eine von der laplaceschen abweichende… …   Universal-Lexikon

  • Poisson-Klammer (klassische Mechanik) — Die Poisson Klammer (nach Siméon Denis Poisson) ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist definiert als wobei f und g Funktionen sind. Hierbei sind die qk die …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson-Boltzmann-Gleichung — Die Poisson Boltzmann Gleichung beschreibt die elektrostatischen Wechselwirkungen zwischen Molekülen in Flüssigkeiten mit darin gelösten Ionen. Sie ist vor allem in den Gebieten der Moleküldynamik und Biophysik von großer Bedeutung. Hier dient… …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson-Klammer — Die Poisson Klammer (nach Siméon Denis Poisson) ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist definiert als wobei f und g Funktionen sind. Hierbei sind die qk die generalisierten Koordinaten …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson-Verteilung — Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson Verteilung für λ = 1 (blau), λ = 5 (grün) und λ = 10 (rot) Die Poisson Verteilung (benannt nach dem Mathematiker Siméon Denis Poisson) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen… …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson equation — Puasono lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Poisson equation vok. Poissonsche Gleichung, f rus. уравнение Пуассона, n pranc. équation de Poisson, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Simeon Denis Poisson — Siméon Denis Poisson Siméon Denis Poisson (* 21. Juni 1781 in Pithiviers (Département Loiret); † 25. April 1840 in Paris) war ein französischer Physiker und Mathematiker. Poisson begann 1798 Mathematik an der École polytechnique zu studieren, wo… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”