- Poisson Gleichung
-
Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) beschreibt ein Randwertproblem, bei welchem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.
Inhaltsverzeichnis
Mathematische Formulierung
Die Poisson-Gleichung lautet allgemein:
Bei Angabe der Funktionswerte oder der Normalenableitung der Funktion Φ auf dem Rand des Gebietes ist die Lösung eindeutig und hängt stetig von den Randwerten und von f ab.
Der Differentialoperator in der Poisson-Gleichung
ist der Laplace-Operator. Die homogene Poisson-Gleichung, heißt Laplace-Gleichung.
Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential. Dabei ist f proportional zur elektrischen Ladungsdichte beziehungsweise zur Massendichte.
Für eine räumlich beschränkte Ladungsdichte f ist die Lösung der Poisson-Gleichung Φ, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral
Jede Ladung am Ort im kleinen Gebiet der Größe trägt additiv zum Potential am Ort mit ihrem Coulomb-Potential (oder Kepler-Potential) bei.
Anwendungen in der Physik
Elektrostatik
Da das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials ausgedrückt werden, mit
- .
Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich
- .
Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch
- ,
wobei die Ladungsdichte und ε0 die Permittivität sind.
Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes
Gravitation
Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu
- .
Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann
- ,
wobei der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt
- ,
woraus folgt
Aus einer durch eine Massendichte beschriebene Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu
- .
Damit folgt
- .
Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch
- ,
und somit
- .
Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass
ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung
gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu
- ,
wobei sich das Minuszeichen weghebt.
Quellen
- Richard Courant und David Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Band 1, Springer Verlag, 1968 (zuerst 1924)
Weblinks
Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik
Wikimedia Foundation.