Augmented Dickey-Fuller-Test

Als Dickey-Fuller-Tests bezeichnet man in der Statistik die von D. Dickey und W. Fuller in den 70er Jahren entwickelten Einheitswurzeltests, die die Nullhypothese eines stochastischen Prozesses mit Einheitswurzel gegen die Alternative eines Prozesses ohne Einheitswurzel testen. Solche Tests dienen dazu festzustellen, ob ein integrierter Prozess vorliegt.

Idee und Durchführung

Für einen stochastischen Prozess X der Form

$X_t=\alpha_0+ \varphi X_{t-1} + \varepsilon_t$

mit einem weißen Rauschen ε soll die Nullhypothese

$H_0:\ \varphi=1$ (Random-Walk mit Drift)

gegen die Alternative

$H_1:\ \varphi<1$ (AR(1)-Prozess)

getestet werden. Setzt man nun $\delta:=\varphi-1$, kann man schreiben:

$\Delta X_t = X_t-X_{t-1}=\alpha_0+(\varphi-1)X_{t-1}+\varepsilon_t=\alpha_0+\delta X_{t-1}+\varepsilon_t.$

Null- und Alternativhypothese lauten jetzt:

$H_0:\ \delta=0, \quad H_1:\ \delta<0.$

Man regressiert nun ΔX_t durch X_{t − 1} und die Konstante α₀. Je nach Schätzverfahren (OLS, ML) erhält man dann Schätzwerte $\hat{\alpha}_0, \hat{\delta}$. Anschließend bildet man eine Teststatistik

$\tau:=\dfrac{\hat{\delta}}{\sqrt{\hat{Var}(\hat{\delta})}},$

die allerdings keiner t-Verteilung, sondern einer von Dickey&Fuller tabellierten Verteilung folgt. Da der Test linksseitig ist, wird die Nullhypothese verworfen, wenn der Wert der Teststatistik kleiner ist als der dem gewählten Signifikanzniveau entsprechende Schwellenwert.

Anwendungsgebiet

Bei der Kointegrationsanalyse von Zeitreihen, beispielsweise der des BIP, der Inflation, von Zinsen etc., wird geprüft, ob stationäre Differenzen einem gemeinsamen stochastischen Trend folgen, also ein echter Zusammenhang besteht. Da durch Regression der Zeitreihen, die höher als vom Grade 0 integriert sind, die Möglichkeit besteht, dass die Regressionsanalyse ein hohes Bestimmtheitsmaß und Signifikanz der Regressoren ergibt, obwohl außer dem gleichzeitigen Auftreten im Zeitpunkt t kein Zusammenhang zwischen diesen Zeitreihen besteht, läuft man Gefahr, Scheinkorrelationen als wahre Zusammenhänge aufzufassen. Der ADF/DF Test prüft nun, ob die Differenz einer Variable stationär ist oder nicht. Eine Zeitreihe ist stationär, wenn sie einen konstanten Erwartungswert und eine nicht vom Zeitpunkt t abhängige Varianz besitzt, sie wird auch integriert der Ordnung null genannt. Falls eine Zeitreihe instationär ist, stellt sich die Frage, welcher Ordnung Instationarität vorliegt. Ist ihre erste Differenz stationär, hat sie die Eigenschaft der Integration erster Ordnung. Es ist also eine Einheitswurzel vorhanden. Falls die erste Differenz nicht stationär ist, testet man die zweiten Differenzen mit analoger Folgerung.

Der ADF-Test kann auch im Rahmens des statischen Tests auf Kointegration nach Engel und Granger auch auf Existenz eines gemeinsamen stochastischen Trends testen. Dieser ist der langfristige Wachstumspfad der Reihen. Langfristig können sich die Variablen nicht unabhängig voneinander bewegen. Wird eine Variable beispielsweise durch einen externen Schock verändert, so passen sich die anderen im Zeitablauf an, um das System wieder in ein Gleichgewicht zu bringen. Hierfür wird der ADF-Test auf die geschätzten Residuen einer Regression der Zeitreihen angewandt. Er prüft also, ob die Residuen stationär sind.

DF-Test

Der Dickey-Fuller-Test testet die Gleichung des DF-Tests im Fall ohne deterministischem Trend und ohne Konstante durch

Δy_t = (ρ − 1)y_{t − 1} + u_t = δy_{t − 1} + u_t.

Es gibt drei Fälle:

1. Test auf Random Walk: Δy_t = δy_{t − 1} + u_t
2. Test auf Random Walk mit Drift Δy_t = a₀ + δy_{t − 1} + u_t
3. Test auf Random Walk mit Drift und deterministischem Trend Δy_t = a₀ + a₁t + δy_{t − 1} + u_t

Das Hypothesenpaar lautet:

$H_0: \, \rho = 1$, d. h., der AR-Teil besitzt eine Einheitswurzel

$H_1: \, -1 < \rho < 1$

ADF-Test

Der Augmented Dickey-Fuller-Test verallgemeinert die Testgleichung des DF-Tests im Fall mit deterministischem Trend durch

Δy_t = α + βt + (ρ − 1)y_{t − 1} + θ₁Δy_{t − 1} + ... + θ_kΔy_{t − k} + u_t,

mit k, so dass die empirischen Residuen weiß rauschen.

Das Hypothesenpaar lautet:

$H_0: \, \rho = 1$, d. h., der AR-Teil besitzt eine Einheitswurzel, und die Variable ist somit nicht stationär

$H_1: \, -1 < \rho < 1$ Es gibt keine stochastische Instationarität, möglicherweise aber deterministische, dann spricht man von einer trendstationären Zeitreihe.

Probleme

Ist der datenerzeugende Prozess trendstationär, aber man führt falscherweise den Einheitswurzeltest mit dem Modell ohne Trendvariable durch, haben die Tests eine asymptotisch gegen null gehende Macht, denn die Nullhypothese des Random Walks wird dann fälschlicherweise zu selten oder nie abgelehnt.

Alternative Ansätze

• Phillips-Perron-Test (1988)
• KPSS-Test (1992) - Nullhypothese: Stationarität
• HEGY-Test (1990)
• ADF-GLS-Verfahren (1996)

Literatur

• G. Elliott, T. J. Rothenberg & J. H. Stock: Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root, Econometrica, 1996, Vol. 64, No. 4., S. 813-836. [1]
• W. H. Greene: Econometric Analysis, Fifth Edition, 2003, Prentice Hall, New Jersey.
• Said E. und David A. Dickey: Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order, Biometrika, 1984, 71, S. 599–607.
• Dickey, D.A. und W.A. Fuller: Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, 1979, 74, S. 427–431.