Proportional

Proportional

Proportionalität besteht zwischen zwei Größen, wenn sie sich immer im gleichen Verhältnis ändern.

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Bei proportionalen Größen ist also die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor.

Beispiele:

  • Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist π = 3,14159....
  • Bei einem Kauf ist der Betrag der Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (19 Prozent).
  • Die Masse einer Flüssigkeit ist proportional ihrem Volumen (siehe ausführliches Beispiel unten).

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität (siehe Lineare Funktion). Linear ist jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, dessen Darstellung in x-y-Koordinaten eine Gerade ist; Proportionalität bedeutet, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (Koordinatenursprung) geht.

Gegenteil der Proportionalität ist die Antiproportionalität (inverse oder umgekehrte Proportionalität). Dabei ist die eine Größe proportional dem Kehrwert der anderen Größe.

Mathematische Definition

1. Geometrische Definition:

Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3-6. Definition 5 lautet: "Man sagt, dass Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind." Definition 6: "Und die dieses Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend heißen."

2. Arithmetische Definition

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten x und ihren Funktionswerten y, d. h. es gilt der Zusammenhang

y = m \cdot x.

Die Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass der Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung verläuft. Der Faktor m in der Gleichung, der Proportionalitätsfaktor, gibt die Geradensteigung an.

Ein proportionaler Zusammenhang

Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an (siehe auch das Bild rechts):

Volumen x in m3 Masse y in t
3 2,4
4 3,2
7 5,6

Berechnet man den Quotienten y/x, so erhält man stets den gleichen Wert, nämlich die Systemkonstante Dichte = Masse/Volumen = 0,8 t/m3. Allgemein gibt der Quotient y/x die Steigung m der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung. Auch der umgekehrte Quotient ist konstant und eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall das spezifische Volumen. Hier erhält man im Beispiel Volumen/Masse = 1,25 m3/t, also wie viel Volumen eine Tonne des Öls einnimmt.

Den Kalkül zur Berechnung proportionaler Funktionen nennt man den Dreisatz (früher auch: Regeldetri).

Verbesserung der Definition:

Die beiden variablen Größen seien die Funktionen f und g mit gemeinsamen Definitionsbereich D. f,g: D -> R.

f ist zu g (direkt) proportional, wenn der Quotient g(x)/f(x) konstant ist. Es gilt also g(x) = c f(x) mit einer Konstanten c, c ist der Proportionalitätsfaktor. Kurzschreibweise f ~ g.

Der Zusammenhang oder die Zuordnung der beiden Größen f und g wird hier über das Argument der Funktionen f und g hergestellt.

In der vorangehenden Definition ist eine Zuordnung einfach da - in dem Beispiel ist es die Zeile der Tabelle.

Schreibweise

Für „a ist proportional zu b“ schreibt man kurz:

a \sim b

Ebenfalls weit verbreitet ist die Schreibweise:

a \propto b

Ersteres Zeichen ist eine Tilde (HTML ∼/∼, TeX \sim, Unicode U+223C bzw. auch ASCII 126/U+007E), zweiteres  »« (HTML ∝/∝, TEX \propto, Unicode U+221D) leitet sich aus dem mittelalterlichen »æ« für lat. aequalis, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens ab (vergl. dort, Geschichte). Beide Zeichen finden sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren.

Siehe auch


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  • proportional — [prə pôr′shə nəl, prōpôr′shə nəl] adj. [ME proporcional < L proportionalis] 1. of or determined by proportion; relative 2. having, or being in, proportion [pay proportional to work done] 3. Math. having the same or a constant ratio n. a… …   English World dictionary

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  • proportional — index commensurable, commensurate, congruous, harmonious, proportionate, relative (comparative) Burton s Legal Thesaurus …   Law dictionary

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