Linearität

Der Begriff Linearität leitet sich vom lateinischen linea, Linie, bzw. linearis, aus Linien bestehend, ab und hat je nach Verwendung unterschiedliche Bedeutungen. Meist wird er verwendet, um eine geradlinige Beschaffenheit zu beschreiben.

Linearität in Naturwissenschaft und Technik

Allgemeine Definition

Linearität ist die Eigenschaft eines Systems auf die Veränderung eines Parameters stets mit einer dazu proportionalen Änderung eines anderen Parameters zu reagieren.^[1].

Diese allgemeine Definition trifft gleichermaßen für die Systemtheorie, Technik, Physik und Mathematik zu. Ist sie nicht erfüllt, so spricht man von Nichtlinearität.

Linearität in der Mathematik

Beispiel: Lineare Funktionen

Linearität in der Mathematik lässt sich am einfachsten anhand sogenannter linearer Funktionen erklären. Dies sind spezielle Funktionen, bei denen die Abbildung einer oder mehrerer Größen auf eine andere entsprechend der allgemeinen Definition erfolgt. Linearität ist weiterhin eine Eigenschaft verschiedener mathematischer Transformationen wie z. B. der Z-Transformation oder der kontinuierlichen Fourier-Transformation.

Weiterhin trifft man bei folgenden, mathematischen Themen auf den (dort teilweise verschärften) Begriff der Linearität:

• in der linearen Algebra, dem Studium von Vektorräumen
• bei der linearen Abbildung, einer strukturerhaltenden Abbildung zwischen zwei Vektorräumen
• bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen, einer Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Siehe auch: Glossar mathematischer Attribute; Proportionalität als Spezialfall von Linearität

Linearität bei statistischen Modellen

Die Statistik liefert Methoden, mit deren Hilfe statistische Modelle in lineare und nichtlineare Modelle unterschieden werden können. Die Besonderheit dabei: Lineare Modelle sind in den geschätzten Parametern linear, aber nicht unbedingt in den unabhängigen Variablen. Was ist damit gemeint?

Erklärung: In der Quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ist nicht die unabhängige Variable x, sondern die Parameter des Modells (hier die Koeffizienten: a,b,c) ausschlaggebend für das Vorliegen von Linearität. Aufgrund dessen kann die multiple lineare Regression zur Parameterabschätzung von "gekrümmten" Modellen verwendet werden.^[2]

Siehe dazu auch: Kollinearität und Multikollinearität

Linearität bei der Methodenvalidierung

Bei der Methodenvalidierung, wie sie z.B. in der analytischen Chemie oder Forensik verwendet wird, ist ein statistischer Test auf Linearität nach Mandel, der sogenannte Mandel-Test (oder Mandel-Anpassungstest) üblich, anhand dessen bestimmt wird, welches Regressionsmodell (lineare oder quadratische Regression) für den vorliegenden Untersuchungsfall anzunehmen ist.

Linearität in Physik und Technik

Gemeinsames

Dem Begriff der Linearität liegt hier eine allgemeine lineare Funktion zwischen reellen Größenwerten zweier physikalischer Größen zu Grunde. Eignen sich zur Beschreibung eines Bauteils (eines Gerätes, einer Einrichtung) oder eines physikalischen Zusammenhangs eine Eingangsgröße x und eine Ausgangsgröße y, und genügen diese Größen der Gleichung

$y=m\cdot x+b\quad \text{mit }m,b = \text{reelle Konstanten,}$

so spricht man von einem linearen Bauteil oder linearem Zusammenhang. Gleichbedeutend mit dieser linearen Funktion ist die Aussage, dass

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=m=\text{konst}$

ist — unabhängig von Größe von Δx und vom Arbeitspunkt bzw. Anfangspunkt, ab dem gemeinsam Δx und Δy zählen. Dieses stimmt mit der oben angegebenen „allgemeinen Definition“ überein.

Im Sonderfall, dass b = 0 ist, ist die Eigenschaft durch Proportionalität geprägt. Dann gilt zusätzlich

$\frac yx=m=\text{konst .}$

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit gleichmäßig geteilten Achsen wird der lineare Zusammenhang zwischen dem Ausgangssignal und dem Eingangssignal durch eine gerade Kennlinie dargestellt. Bei proportionalem Zusammenhang geht diese durch den Koordinatenursprung.

Bei einer stetig gekrümmten Kennlinie kann eine lineare Näherung verwendet werden, soweit bei kleinen Werten von |Δx| die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente (im jeweils gewählten Arbeitspunkt) noch gering ist.

Skalen eines Analogmultimeters;
nur die mittlere Skale ist linear geteilt

Beispiele aus der Messtechnik

• Häufig liegt zwischen einer Messgröße (z. B. Konzentration eines Stoffes in der analytischen Chemie) und dem Messsignal (z. B. die elektrische Spannung eines Sensors) eine lineare Funktion zu Grunde. Angestrebt wird bei einem Messgerät möglichst Proportionalität. Dazu wird im Rahmen der Signalbearbeitung in einer Messkette nicht nur das Signal verstärkt, sondern bei Bedarf zusätzlich der Nullpunkt verschoben.

• In nebenstehendem Bild besteht im zur oberen Skale gehörenden Messbereich ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Messgröße und dem Ausschlag bzw. dem Winkel des Zeigers. Durch eine ebenfalls nichtlineare Skalenteilung wird der ablesbare Wert dennoch proportional zur Messgröße.

Siehe auch: Linearität (Messsystemanalyse), Linearitätsabweichung beim Digitalmultimeter, Linearitätsbedingung bei Korrelationskoeffizienten

Typische Übertragungskennlinie eines Feldeffekttransistors

Beispiele aus der Elektrotechnik

• Die grundlegenden passiven Bauelemente ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator werden in einem Wechselstromkreis als lineare Bauteile bezeichnet, da sie auf eine harmonische Schwingung Δx der Eingangsgröße mit einer ebenfalls harmonischen Schwingung Δy der Ausgangsgröße bei gleicher Frequenz reagieren. Dabei sind diese Größen die elektrische Spannung U und Stromstärke I. – Halbleiterbauelemente verhalten sich in aller Regel nichtlinear.

• In nebenstehender Kennlinie ist der Zusammenhang zwischen der Steuerspannung U_GS und der gesteuerten Stromstärke I_D eines Feldeffekttransistors dargestellt. Es lassen sich zwei Bereiche unterscheiden, wobei die Grenze fließend ist.
  • Im Bereich 0 … −1 V kann die Kurve in guter Näherung als geradlinig angesehen werden; es liegt Linearität vor. Hier folgt einer Spannungsänderung ΔU_GS, die ab einem Arbeitspunkt gezählt wird, eine proportionale Änderung der Stromstärke ΔI_D. Bei einer sinusförmigen zeitlichen Änderung von ΔU_GS folgt ΔI_D ebenfalls sinusförmig.
  • Im Bereich −1 … −3 V ist die Funktion nichtlinear. Hieraus resultieren Verzerrungen: Bei sinusförmigem zeitlichen Verlauf von ΔU_GS folgt ΔI_D mit einem nicht sinusförmigen Verlauf.

Linearität in der Mechanik

Entsprechend der lateinischen Bedeutung des Wortes linea erfolgt u. a. eine Unterscheidung der Bewegungsrichtung von Körpern danach, ob die Bewegung entlang einer entsprechend ausgeprägten geraden Linie erfolgt (linear) oder nicht (nicht linear). Beispiel: In einem Verbrennungsmotor führt der Hubkolben eine geradlinige Bewegung aus (eine ungleichmäßige Translation) und die mit ihm verbundene Kurbelwelle eine kreisförmige Bewegung (im stationären Zustand eine gleichmäßige Rotation).

Linearität in der Chemie

Bei chemischen Analysen liegt Linearität bei der verwendeten Methode dann vor, wenn in einem bestimmten Konzentrationsbereich das Messsignal direkt proportional zur Analytkonzentration in der Probe ist. ^[3]

Linearität in der Systemtheorie

In der interdisziplinären Systemtheorie werden lineare und nichtlineare Systeme unterschieden.

Ein System ist dann linear, wenn die beiden folgenden Kriterien erfüllt sind:

1. Wenn eine Eingangsgröße x zu einer Ausgangsgröße X führt, wird eine Eingangsgröße von $2\cdot x$ zu einer Ausgangsgröße von $2\cdot X$ führen. Anders ausgedrückt, die Magnitude (Größenordnung) der Eingangsgröße ist proportional zur Magnitude der Ausgangsgröße des Systems.
2. Wenn eine Eingangsgröße x zu einer Ausgangsgröße X führt und eine Eingangsgröße y zu einer Ausgangsgröße Y führt, so verursacht eine Eingangsgröße x + y eine Ausgangsgröße X + Y. Anders ausgedrückt, das System behandelt zwei simultane Eingangsgrößen voneinander unabhängig und diese interagieren innerhalb des Systems nicht miteinander.

• Implizit in diesen Kriterien ist das Faktum, dass lineare Systeme keinerlei Frequenzen am Ausgang produzieren, die nicht schon am Eingang vorhanden sind.
• Dabei ist weiterhin zu beachten, dass in diesen Kriterien keinerlei Aussage steckt, wonach die Ausgangsgröße gleich der Eingangsgröße wäre, oder dieser auch nur ähnelt. Beispielsweise könnte die Eingangsgröße ein elektrischer Strom sein und die Ausgangsgröße eine Temperatur. Im Falle mechanischer Strukturen wie z. B. Maschinen könnte man eine schwingende Kraft als Eingangsgröße und eine messbare Schwingung (Bewegung) als Ausgangsgröße vorstellen.^[4]

Weiterhin kennt die Systemtheorie auch noch lineare, zeitinvariante, dynamische Systeme.

Siehe auch: Linearisierung

Linearität von Texten und Medien

Linearität von Texten wie z. B. Büchern liegt vor, wenn diese in einer bestimmten, linearen Reihenfolge geschrieben und gelesen werden. Ausprägungen von Linearität bei Texten sind beispielsweise:

• von Seite zu Seite oder von Blatt zu Blatt,
• von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne,
• von Zeile zu Zeile oder von Spalte zu Spalte,
• von links nach rechts oder von rechts nach links,
• von oben nach unten oder von unten nach oben.

Dieser Linearität des Textes folgt die Bewegungsrichtung der Augen des Autors bzw. Lesers.

Moderne Medien wie das Internet erlauben mit Hilfe von Hypertext diese Linearität in bestimmten Bereichen aufzubrechen, indem Texte untereinander verlinkt werden und diesen so eine nichtlineare Komponente hinzugefügt wird. Die Linearität einzelner Abschnitte bleibt dabei zwar erhalten, der Leser bestimmt jedoch die Leserichtung durch Auswahl der ihn interessierenden Inhalte anhand der von Autoren gesetzten Hyperlinks und bewegt sich so nichtlinear durch die vorhandenen Medieninhalte.^[5] Diese Non-Linearität von Hypertext gilt als wesentliches Element der Hypertext-Theorie.^[6]

Siehe auch: Linearität eines Zeichens

Linearität in der Musik

→ Hauptartikel: Linearität (Musik)

In der Musik bezeichnet Linearität ein Verhältnis einer, zweier oder mehrerer Stimmen zueinander im Verhältnis zu den jeweiligen Regeln des Tonsatzes. Dass dies schon mit der Einstimmigkeit beginnt, liegt daran, dass auch dort schon festgelegte Wendungen, sogenannte (Schluss-)Klauseln eingehalten werden oder eben nicht.

Linearität in der Wissensvermittlung

Gegenwärtig wird im Unterrichtssystem als Ort der Wissensvermittlung und -konstruktion ein Paradigmenwechsel vollzogen. Wurde der Stoff bis in die 1980er Jahre noch linear und frontal vermittelt (Linearität a priori), so werden zunehmend die Schüler und Studenten aufgefordert, Informationen, die sie selbst aus der Umwelt sammeln, im Klassenraumdiskurs zu ordnen und zu Wissen umzuformen (Linearität a posteriori). Ein Modell dazu liefert die Unterrichtsmethode Lernen durch Lehren.

Linearität in der Verwandtschaftsterminologie

In der Verwandtschaftsterminologie verwendet man den Term Linearität um lineare Verwandtschaft von kollateralen Verwandtschaften zu unterscheiden. Linearität wird hier als direkte Blutsverwandtschaft, Kollateralität, im Gegensatz dazu, als indirekte Blutsverwandtschaft definiert.

Siehe auch

• David R. Hawkins: Nicht-Dualität und Nicht-Linearität
• Linearität der geschichtlichen Veränderung
• Lineartechnik
• Linear-Antiqua
• Lincoln Near Earth Asteroid Research (LINEAR)
• Methode der globalen Linearisierung

Einzelnachweise

1. ↑ Definition von Linearität bei Systemen
2. ↑ Linearität bei statistischen Modellen
3. ↑ chemgapedia.de: Linearität bei chemischen Analysemethoden
4. ↑ Definition von Linearität bei Systemen
5. ↑ webkompetenz.blogspot zu Hypertext: Text und Linearität
6. ↑ Non-Linearität in der Hypertext-Theorie