Punktsteigungsformel

Die Punktsteigungsformel ist eine Formel, die es erlaubt, die Funktion für eine Gerade zu bestimmen, wenn die Steigung der Geraden sowie ein Punkt auf der Geraden gegeben sind. Geraden werden häufig auf diese Weise definiert, man spricht dann von der Punktsteigungsform.

Sei also g eine Gerade, $P(u|v)\in g$ ein Punkt auf der Geraden, und m deren Steigung. Dann ist die Funktion für die Gerade g gegeben durch:

$f_g(x)=y = m \cdot (x-u)+v$

Beispiel

Wenn bekannt ist, dass die Gerade g durch den Punkt P(3 | 5) verläuft und die Steigung 2 hat, dann ergibt sich nach der obigen Formel:

u = 3 (x-Koordinate des Punktes)

v = 5 (y-Koordinate des Punktes)

m = 2 (Steigung der Geraden)

$f_g(x) = 2 \cdot (x-3)+5 = f_g(x) = 2x-1$

Der Graph der Funktion f_g ist dann die Gerade g.

Herleitung

Man gehe von der allgemeinen Form einer Geraden aus:

$y= m\cdot x+b$

Da der Punkt P(u | v) auf der Geraden liegt, gilt

$v= m\cdot u+b$

woraus durch Subtraktion von $m\cdot u$ folgt

$v-m\cdot u=b$

Dieser Ausdruck für b wird in die Ursprunsgleichung y = mx + b eingesetzt:

$y= m\cdot x+v-m\cdot u$ mit $v- m\cdot u = b$

Ausklammern von m liefert

$y=m\cdot(x-u)+v$

Das ist die gesuchte Funktion der Geraden.

Abwandlung

Sind dagegen zwei Punkte $P(x_1|y_1)\,$ und $Q(x_2|y_2)\,$ gegeben, für welche die Gleichung der Geraden gesucht ist, welche durch diese beiden Punkte geht, erhält man aus obiger Formel mit $m=\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ folgenden Ausdruck:

$f_g(x)=y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1)+y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_2)+y_2$

Beispiel

Gesucht ist die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P(3|5),Q(2|3).\,$ Obige Formel liefert:

$\begin{matrix} f(x)=y & =\frac{3-5}{2-3}\cdot(x-3)+5 & = & \frac{-2}{-1}(x-3)+5 & = & 2(x-3)+5=2x-1 \\ \text{bzw.}& =\frac{3-5}{2-3}\cdot(x-2)+3 & & = & & 2(x-2)+3=2x-1 \end{matrix}$