Punktprobe

Die Punktprobe ist ein mathematisches Verfahren, durch das entschieden wird, ob ein Punkt in einer gegebenen Punktmenge liegt. Dabei sind verschiedene Punktmengen möglich:

Liegt ein Punkt

• auf einem Funktionsgraphen in einem x-y-Koordinatensystem?
• auf einer Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem?
• auf einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem?

Verfahren

Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erfüllt der Punkt die Gleichung, d.h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Punktmenge.

Somit ist es möglich, am Ende einer Rechnung zu überprüfen, ob z.B. ein berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tatsächlich auf beiden Geraden liegt.

Beispiele

Lineare Funktion

Liegt der Punkt P(4 | 7) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung $g: \ y=2x-5$ ?

Für x setzt man die x-Koordinate des Punktes P ein, für y die y-Koordinate des Punktes. $7=2 \cdot 4 -5$. Dies ist keine wahre Aussage, somit liegt der Punkt P nicht auf dem Graphen.

Geradengleichung in Parameterform

Liegt der Punkt Q(8 | 3 | 5) auf der Geraden h mit der Gleichung $h: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}$ ?

Für den Vektor $\vec x$ setzt man den Ortsvektor des Punktes Q ein und löst zeilenweise nach dem Parameter λ auf. Da sich in der ersten Zeile λ = 2 ergibt, gleichzeitig die zweite Zeile aber λ = − 3 liefert, gibt es einen Widerspruch. Somit liegt der Punkt Q nicht auf der Geraden h, kurz $Q \notin h$.

Ebenengleichung in Koordinatenform

Liegt der Punkt R(2 | 1 | 11) auf der Ebene mit der Koordinatengleichung ${E: \ 3 x_1+7 x_2- x_3=2}$ ?

Für x₁, x₂ und x₃ setzt man die Koordinaten des Punktes R ein. ${\ 3 \cdot 2+7 \cdot 1 - 11=2}$. Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt R auf der Ebene, kurz $R \in E$.

Weitere Anwendungen

Die Punktprobe kann auch dazu verwendet werden, eine Geradengleichung g zu bestimmen, wenn ein Punkt P der Gerade und deren Steigung m bekannt ist.

Ansatz: $g: \ y=m \cdot x + c$

Der y-Achsenabschnitt c wird nun bestimmt, indem man die „Punktprobe“ für den Punkt P durchführt und nach c auflöst. Dies ist somit eine Alternative zur Punktsteigungsformel.

Die Punktprobe kann, so drei Punkte P₁,P₂,P₃ des R² gegeben sind, zur Bestimmung einer quadratischen Gleichung, bzw. eines Funktionsterms f verwendet werden, der als Schaubild eine Parabel besitzt. Die allgemeine quadratische Funktion lautet:

$f: \ f(x)=ax^2 + bx + c$

Nun führt man die Punktprobe für jeden der Punkte P1, P2, P3 durch und erhält ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b, c. Nach Auflösung erhält man den Funktionsterm der Funktion f, der für die Koordinaten von P1, P2, P3 in eine wahre Aussage übergeht.