- Pythagoraszahl
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Die Pythagoraszahl eines Körpers F ist definiert als das kleinste
, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in F schon als Summe von p(F) Quadraten schreiben lässt.[1]
Inhaltsverzeichnis
Definition
Für einen Körper F sei
die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.
Mit
bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in F, die höchstens Länge k haben. Offensichtlich gilt
für alle
. Unklar ist dagegen, ob immer ein
existiert, so dass
. Als Pythagoraszahl von F bezeichnen wir die folgende Größe:
wobei
genau dann, wenn
für alle
gilt. Es ist stets
.
Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper
- Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für
ein
, so dass
. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen
. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in
die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
- Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen
.
- Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen
, d.h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.
Weitere Beispiele und Beweise
Satz Falls F nicht-reeller Körper (d.h.
), lässt sich die Pythagoraszahl von F abschätzen durch die Stufe s(F) von F:
Beweis: Siehe
Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)
Falls F ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade [2], nach dem für einen beliebigen Körper F mit char(F) > 0 gilt, dass
(zum Beweis vgl. Stufe).
Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass
.
Ganz exakt kann man im Fall
werden, wo q eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:
Satzfür alle q = pn wo p > 2 prim und n > 0 ist.
Beweis: Siehe
Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)
Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen
Sei
eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter d = trdeg(F) der Transzendenzgrad von F über
.
Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass
für alle d gilt.
Wegen
ist diese Abschätzung scharf für d = 0.
Für d = 1 wurde bisher
gezeigt [3]. Vermutlich gilt aber sogar
, was dann wegen
eine scharfe Abschätzung wäre. [4]
Eine ausführliche Darstellung des Beweises von
findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s.u.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133-136
- ↑ A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
- ↑ Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
- ↑ Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971
Weblinks
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