Quasinormaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra. Ist $X$ ein Hilbertraum, so heißt ein Operator $A \in \mathcal{L}(X)$ normal, falls er mit seiner Adjungierten $A^{\ast}$ kommutiert, d.h. wenn

$A A^{\ast} = A^{\ast} A.$

Dabei bezeichnet $\mathcal{L}(X,Y)$ die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ und $\mathcal{L}(X):=\mathcal{L}(X,X)$ die Menge der stetigen Endomorphismen von $X$ .

Eigenschaften

Sei $A\in\mathcal{L}(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

$\|Ax\| = \|A^{\ast}x\|$ für alle $x\in X$
$\|Ax\|^2 \le \|A^2 x\| \|x\|$ für alle $x\in X$
Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\| = \sup\{|\lambda|; \lambda \in \sigma(A)\}$
Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ${0}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.