Quasinormierbarer Raum

Quasinormierbare Räume bilden eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Klasse lokalkonvexer Räume. Diese auf A. Grothendieck zurückgehende Begriffsbildung erlaubt eine Charakterisierung von Schwartzräumen. Man findet in der Literatur auch die Bezeichnung quasinormabel.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum E heißt quasinormierbar, falls es zu jeder Nullumgebung U eine weitere Nullumgebung V gibt, so dass man zu jedem λ > 0 eine beschränkte Menge $B\subset E$ mit $V\subset B+\lambda U$ finden kann.

Normierte Räume sind quasinormierbar. Zur Nullumgebung U wähle man irgendeine beschränkte Nullumgebung V, z.B. die offene Einheitskugel. Dann gilt $V\subset V+\lambda U$ für jedes λ > 0, sogar für λ = 0. Würde die in der Definition angegebene Bedingung sogar für λ = 0 gelten, so wäre V eine beschränkte Nullumgebung und damit der Raum E normierbar. Diese Betrachtung rechtfertigt den Namen quasinormierbar.

Beispiele

• Schwartz-Räume sind quasinormierbar.

Eine der Charakterisierungen der Schwartz-Räume besteht gerade darin, dass man in obiger Definition die beschränkte Menge B sogar endlich wählen kann. Man kann sich nun fragen, welche Bedingung umgekehrt ein quasinormierbarer Raum erfüllen muss, um ein Schwartz-Raum zu sein. Es gilt folgender Satz:

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn er quasinormierbar ist und jede beschränkte Menge präkompakt ist.
• (DF)-Räume sind quasinormierbar.

Eigenschaften

• Ein abzählbares Produkt von quasinormierbaren Räumen ist mit der Produkttopologie wieder quasinormierbar.
• Quasinormierbare Fréchet-Räume sind distinguiert.

Quellen

• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
• M. P. Katz: Every DF-space is quasinormable, Functional Analysis and Its Applications, Band 7 (1973), Seiten 157-158