Diagonalisierbarkeit

Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt und man schreibt häufig

$D = {\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{pmatrix}$.

Rechenoperationen

Matrixaddition, Skalarmultiplikation und Matrixmultiplikation

Die Matrixaddition, Skalarmultiplikation und Matrixmultiplikation gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:

${\rm diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot {\rm diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = {\rm diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)$

Multiplikation einer Matrix A von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von A mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von Rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von A mit den Diagonaleinträgen.

Berechnung der Inversen

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale 0 ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

${\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = {\rm diag} (d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1})$

Eigenschaften von Diagonalmatrizen

• Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen $n \times n$-Matrizen.
• Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf der Hauptdiagonale mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren.
• Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:

  $\det ( {\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) ) = d_1 \cdot d_2 \cdot \dots \cdot d_n = \prod_{i=1}^n d_i$

Diagonalisierbarkeit

Eine beliebige quadratische Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix D gibt, zu der sie ähnlich ist.

Für eine lineare Abbildung $f\colon V \to V$ (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis B existiert, bei der die Darstellungsmatrix $M_B^B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.

Alternativ lässt sich auch definieren: eine quadratische $n \times n$ Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren von A gibt.

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Diagonalisierung

Ist eine Matrix A diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix D_A für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

D_A = S ^{− 1}AS

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix D_A und die zugehörige Basis. Dies geschieht in drei Schritten:

1. Es werden die Eigenwerte λ_i der Matrix A bestimmt.
2. Es werden die Eigenräume $E\left(\lambda_i\right)$ zu allen Eigenwerten λ_i berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:

   $( A - \lambda_i I ) \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix} = 0$

3. Nun ist die Diagonalform D_A der Matrix A bezüglich der Basis B:

   $D_A = {\rm diag} (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$

   S = {E(λ₁),...,E(λ_n)}

Simultane Diagonalisierung

Gelegentlich will man auch zwei unterschiedliche Matrizen A,B mit derselben Transformation S diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt S ^{− 1}AS = D₁ und S ^{− 1}BS = D₂ und da D₁ und D₂ Diagonalmatrizen sind,

$D_1\cdot D_2 = D_2\cdot D_1 \Rightarrow B\cdot A= S^{-1}D_2S\cdot S^{-1}D_1S= S^{-1}D_1D_2S= A\cdot B$.

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Beispiel

Die Diagonalmatrix

$\mbox{diag} \left(1,3,5\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

besitzt die Eigenwerte

$\lambda_1=1,\; \lambda_2=3,\; \lambda_3=5$

mit zugehörigen Eigenräumen / Eigenvektoren

$E_1=[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}],\quad E_2=[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}],\quad E_3=[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}]$.

Spezielle Diagonalmatrizen

• Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert 1 haben.
• Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert 0 haben.

Siehe auch

• Trigonalisierung