Operatornorm

Eine Operatornorm ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Diese Operatornormen verallgemeinert die Idee, einem Objekt eine Länge zuzuordnen, auf die Menge der linearen Operatoren. Sind die zu betrachtenden Operatoren stetig, so ist die Operatornorm eine echte Norm, andernfalls kann die Operatornorm den Wert unendlich annehmen.

Definition

Seien V und W normierte Vektorräume und sei $f:V \rightarrow W$ ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

$\|{\cdot} \| \colon \{f \colon V \to W| f\ \mathrm{linear} \} \to \R^+ \cup \{0,\infty\}$

bezüglich der Vektornormen $\|.\|_V$ und $\|.\|_W$ durch

$\|f\| := \inf \left\{c\ge 0 \mid \forall x\in V\colon \|f(x)\|_W \le c\,\|x\|_V\right\}$

definiert.

Für $V \ne \{0\}$ ist dies äquivalent zu

$\|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W = \sup_{\|x\|_V \leq 1} \|f(x)\|_W.$

Eigenschaften

Die Operatornorm erfüllt neben den für Normen charakteristischen drei Eigenschaften Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung außerdem die folgenden:

Submultiplikativität

Sind $f : V \to W$ und $g :X \rightarrow V$ lineare Operatoren, so sind die jeweiligen Operatornormen zusätzlich zu den üblichen Normeigenschaften submultiplikativ. Das heißt es gilt

$\|f \circ g\| \leq \|f\|\|g\|.$

Beschränktheit

Die Operatornorm linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stets endlich, da die Einheitskugel eine kompakte Menge ist. Somit ist im endlichdimensionalen Fall die Operatornorm immer eine echte Norm. Für unendlichdimensionale Vektorräume gilt dies nicht immer. Operatoren, deren Norm unendlich als Wert annimmt, werden unbeschränkt genannt. Auf Räumen mit solch unbeschränkten Operatoren ist die Operatornorm streng genommen keine echte Norm. Man kann zeigen, dass ein linearer Operator zwischen normierten Räumen genau dann eine endliche Operatornorm hat, wenn er beschränkt und damit stetig ist. Insbesondere wird dadurch der Raum der stetigen linearen Operatoren zu einem normierten Vektorraum.

Vollständigkeit

Falls W vollständig ist, ist der Operatorraum L(V,W) vollständig. Der Raum V braucht im Allgemeinen nicht vollständig zu sein.

Beispiele

Matrixnormen

→ Hauptartikel: Matrixnorm

Da man jeden linearen Operator zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix darstellen kann, sind die Matrixnormen ein sehr naheliegendes Beispiel für Operatornormen. So sei A eine darstellende Matrix.

• Die Spaltensummennorm
  $\|A\|_1 := \max_{j} \sum_{i = 1}^n |a_{ij}|$
  ist eine Operatornorm, wobei im Urbild- und im Bildraum die 1-Norm gewählt wird, denn es gilt
  $\sup_{\|x\|_1 = 1} \frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1} = \sup_{\|x\|_1 = 1} \frac{\sum_{i=1}^n |a_{ij} x_i|}{\sum_{i=1}^n |x_i|} = \max_{j} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|.$
• Die Spektralnorm
  $\|A\|_2 := \sqrt{\lambda_{\max}(A^H A)},$
  wobei A^H die adjungierte Matrix ist und λ_max(A^HA) den betragsmäßig größten Eigenwert des Matrixprodukts A^HA meint, ist die Operatornorm bezüglich der euklidischen Norm.

Jedoch ist nicht jede Matrixnorm eine Operatornorm. Die Norm $\textstyle \left\| A \right\| = \max_{i,j} |a_{ij}|$ ist zum Beispiel keine Operatornorm.

Der Folgenraum l²

Sei s = (s_i) eine beschränkte Folge und damit ein Element des Raums $\ell^\infty$, der mit der Norm $\| s \|_{\infty} = \sup _n |s_n|$ versehen ist. Definiere nun einen Multiplikationsoperator $T_s : \ell^2 \to \ell^2$ durch $\textstyle a \mapsto \sum_{i=1}^\infty s_i \cdot a_i$. Dann gilt für die entsprechende Operatornorm

$\|T_s\| = \sup_{\|a\|_{\ell^2} \neq 0} \frac{\|T_s a\|_{L^2}}{\|a\|_{L^2}} = \sup_{\|a\|_{\ell^2} = 1} \sqrt{\sum_{i=1}^\infty |s_i \cdot a_i|^2} = \sup_i |s_i| = \|s\|_{\ell^\infty}.$

Norm eines (Pseudo)differentialoperators

Seien s,α > 0 und sei $P : H^s(\Omega) \to H^{s+\alpha}(\Omega)$ ein linearer Operator zwischen Sobolev-Räumen. Solche Operatoren können als Pseudodifferentialoperatoren dargestellt werden. Unter bestimmten Umständen, insbesondere wenn die Ordnung der Sobolev-Räume ganzzahlig ist, sind die Pseudodifferentialopertoren (schwache) Differentialoperatoren. Der Raum der (Pseudo)differentialoperatoren kann mit einer Operatornorm versehen werden. Da die Norm im Sobolev-Raum durch $\|f\|_{H^s} = \|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2}$ gegeben ist, ist die Operatornorm für die (Pseudo)differentialoperatoren durch

$\|P\| = \sup_{\|f\|_{H^s} \neq 0} \frac{\|P f\|_{H^{s + \alpha}}}{\|f\|_{H^s}} = \sup_{\|f\|_{H^s} \neq 0} \frac{\|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s+\alpha}{2}} \cdot \mathcal{F}(P f)\|_{L^2}} {\|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2}}$

gegeben.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6