Rechengitter

Als Rechengitter bezeichnet man in der numerischen Mathematik eine diskrete Zerlegung des Raumes, auf dem eine partielle Differentialgleichung gelöst werden soll. Für eine zeitliche Diskretisierung ist der Begriff nicht gebräuchlich. Die Schnittpunkte zweier Gitterlinien werden als Knoten bezeichnet, die Zellen entweder als Zellen, in Finite-Elemente-Verfahren auch als Elemente und in Finite-Volumen-Verfahren als Volumen. Das Gitter kann räumlich feststehend sein oder sich mit der Zeit bewegen oder im Laufe der Rechnung adaptiert werden.

An den Rändern des Gebiets müssen Randbedingungen vorgeschrieben werden.

Rechengitter müssen nicht eindimensional sein. Bei dreidimensionalen Gittern werden schnell sehr große Zellenzahlen erreicht. Ein einfaches rechtwinkliges Gitter, das auf einer Kante nur 100 Zellen auflöst, besitzt in der dritten Dimension bereits 1 Million Zellen.

Auf modernen PC mit 2 GB Hauptspeicher können je nach Softwaresystem heute ca. 1,5-5 Millionen Zellen berechnet werden. Werden größere Auflösungen benötigt, dann muss die Berechnung auf Großrechnern oder Rechnernetzwerken erfolgen.

Gitterarten

Man unterscheidet strukturierte und unstrukturierte Gitter. Bei strukturierten Gittern liegen die Zellen in einem regelmäßigen Raster vor, so dass sich berechnen lässt, welche Nachbarzellen angrenzen. Strukturierte Gitter bestehen im wesentlichen aus Hexaedern, manchmal auch aus Tetraedern, wobei die Würfelkanten nicht zwangsläufig rechtwinklig aufeinander stehen müssen. Tetraeder besitzen hierbei allerdings den Nachteil, dass sie den Raum nur schlecht ausfüllen. So hat ein Tetraeder mit einer Kantenlänge von 1 nur ein Raumvolumen von 1/6, während ein Kubus ein Volumen von 1 besitzt. Daher müssen etwa für die Strömungssimulation Tetraedergitter sehr viele Zellen verwenden, um eine ausreichende Auflösung zu erreichen.

Der einfachste Fall ist ein kartesisches Gitter, in dem die Zellkanten immer parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Bei den strukturierten Gitter sind auch komplexe Strukturen möglich, bei denen das Gittersystem zwar regelmäßig ist, insgesamt aber gekrümmt oder an eine komplexe Geometrie angepasst. Ebenso werden Multiblockstrukturen verwendet, bei denen das Gitter aus mehreren strukturierten Blöcken unterschiedlicher Größe gebildet wird. Solche strukturierten Gitter lassen sich nur teilautomatisch erstellen.

Unstrukturierte Gitter sind meist das Ergebnis eines Adaptionsprozesses. Bekannt sind auch Gitter aus komplexen Zellen, sogenannte Polyedergitter. Die Zellstruktur ähnelt hier der von Seifenschaum. Diese Struktur ist günstig für die Berechnung, erfordert aber eine aufwendige Verwaltung der Geometrie.

Unstrukturierte Gitter sind sehr flexibel und einfach einzusetzen, da sie einfach automatisch erzeugt werden können. Die Datenverwaltung ist allerdings sehr aufwändig, da nicht berechnet werden kann, welche Zelle an welche grenzt. Unstrukturierte Gitter benötigen daher bei der Speicherung häufig ein mehrfaches des Speichers von strukturierten Gittern.