Renormierbarkeit

Unter Renormierung einer Feldtheorie versteht man die Festlegung einer Energieskala, in Bezug auf welche die Theorie formuliert wird.

Obwohl Renormierung auch bei klassischen Feldtheorien möglich (und sinnvoll) ist, ist sie speziell bei Quantenfeldtheorien unumgänglich, da ansonsten unendliche (divergente) Ausdrücke auftreten. Die physikalische Ursache dieser Divergenzen besteht darin, dass die Störungsentwicklung wechselwirkender Quantenfeldtheorien effektive Theorien sind, die nur innerhalb eines gewissen Energiebereichs gültig sind. Dieser Energiebereich kann zwar sehr groß sein, ist aber auf jeden Fall endlich. Bei der mathematischen Ausarbeitung der Theorie tragen – methodenbedingt – auch Energien außerhalb des Gültigkeitsbereichs bei, die dann unsinnige (unendliche) Ergebnisse liefern. Der mathematische Grund dieser Divergenzen ist, dass die Feldoperatoren Distributionen sind, deren Multiplikation am selben Raumzeitpunkt im Rahmen einer Reihenentwicklung im allgemeinen undefiniert ist.

Im Zuge der Renormierung der Theorie wird eine Energieskala eingeführt und Beiträge innerhalb und außerhalb dieser Skala getrennt; für diesen als Regularisierung bezeichneten Zwischenschritt gibt es technisch mehrere Möglichkeiten, die jedoch alle bezüglich der physikalischen Auswirkungen äquivalent sind. Wie sich herausstellt, lassen sich alle Effekte, die von Energien außerhalb der betrachteten Energieskala herrühren, pauschal durch die Redefinition der Parameter der Theorie, wie der Masse oder von Kopplungskonstanten, berücksichtigen. Zu diesen Konstanten treten Strahlungskorrekturen auf, die umso größer werden, je weiter die betrachtete Energie von der eingeführten Energieskala abweicht. Wenn eine endliche Anzahl von redefinierten Parametern ausreicht, bezeichnet man die Theorie als renormierbar. In vier Raumzeit-Dimensionen ist die Massendimension der Lagrangedichte vier. In vier Dimensionen lässt sich allgemein zeigen, dass eine Quantenfeldtheorie nur dann renormierbar ist, wenn die Kopplungskonstanten in den Wechselwirkungstermen keine negative Massendimension haben.

Die Wahl der Energieskala ist rein willkürlich aber obwohl sich für jede Energieskala andere Parameter und andere Strahlungskorrekturen ergeben, sind die physikalischen Vorhersagen identisch. Die Theorie wurde nur auf einen Energiewert normiert, insofern erklärt sich die Bezeichnung Renormierung. In der praktischen Anwendung wählt man selbstverständlich die Energieskala, die dem betrachteten Bereich entspricht.

Eine der wichtigsten neuen Erkenntnisse im Rahmen der Entwicklung der Renormierungsgruppe besagt, dass Naturkonstanten nicht konstant sind, sondern nur in Bezug auf eine bestimmte Energieskala. So nimmt z.B. die Elementarladung bei hohen Energien zu. Umgekehrt nimmt die Kopplung der starken Kernkraft bei hohen Energien ab, was als asymptotische Freiheit bezeichnet wird.

Die Kopplungskonstanten werden durch die Renormierung nur auf die gemessenen Werte für die Referenzenergie festgelegt. Viele Bemühungen der modernen theoretischen Physik zielen daher darauf, diese Parameter im Rahmen einer übergeordneten Theorie mit erweitertem Gültigkeitsbereich berechnen bzw. ableiten zu können.

Die Symmetrien der Lagrangedichte einer Quantenfeldtheorie und die dazugehörigen Ward-Identitäten können dazu führen, dass verschiedene Renormierungskonstanten gleich sind. Das führt dazu, dass bestimmte auftretende Divergenzen sich gegenseitig aufheben und damit die Renormierbarkeit der Theorie gewährleistet wird.

In der axiomatischen Quantenfeldtheorie gibt es mit der kausalen Störungstheorie ebenfalls eine mathematisch wohldefinierte Renormierungsprozedur. Explizite Rechnungen sind in diesem Formalismus jedoch sehr kompliziert durchzuführen, weshalb es vor allem als mathematische Untermauerung der Renormierungstheorie aufgefasst aber kaum für Rechnungen herangezogen wird.