Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte $\mathcal{L}$ (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion L in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

$L=\int \mathrm d^3 r \mathcal{L}=\iiint \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz \, \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)$

mit dem betrachteten Feld ϕ(x,y,z,t).

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen 2. Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial t}} - \sum_{j=1}^3 \frac{\mathrm d}{\mathrm dx_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j}} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi_i)} = 0$.

Beispiel

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\mu \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - E \left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 \right]$

In diesem Beispiel bedeuten:

ϕ = ϕ(x,t) die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

μ die lineare Massendichte

E den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} = \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}} = - E \frac{\partial \phi}{\partial x}$

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

$E \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0$

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

$S=\int \mathrm d^4x\,\mathcal{L}$

definiert. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

$\mathcal{L}'(x_\mu)=\mathcal{L}(x'_\mu)=\mathcal{L}(x_\mu)$ mit x'_μ = Λ_μνx^ν, wobei Λ_μν der Lorentz-Transformationstensor ist.