Yang-Mills-Gleichungen

Die Yang-Mills-Theorie (nach Chen Ning Yang und Robert L. Mills) ist eine nichtabelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung der starken und schwachen Wechselwirkung herangezogen wird. Hingegen ist die Elektrodynamik ein Beispiel einer abelschen Eichtheorie.

Dieser Artikel beschreibt vorwiegend die mathematischen Aspekte des Phänomens. Die physikalischen Aspekte werden bei einem der wichtigsten Beispiele für Yang-Mills-Theorien, der Quantenchromodynamik besprochen.

Yang-Mills-Feldenergie

Die Yang-Mills-Theorie geht von der Yang-Mills-Wirkung $\, S_\mathrm{YM}$ für die Eichbosonen aus:

$\mathbf S_\mathrm{YM} = \frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}\left[ *F\wedge F \right]\,.$

Die Größe $\,F$ heißt Yang-Mills-Feldstärke; $\,*F$ ist die zu F duale Yang-Mills-Feldstärke. Die positive Größe g bedeutet in der Physik die Wechselwirkungskonstante.

Wendet man jetzt das Prinzip der kleinsten Wirkung auf die durch $\mathbf S_\mathrm{YM}$ repräsentierten Eichbosonenfelder an, so erhält man als zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungen die Yang-Mills-Gleichungen:

$\mathcal{D}F \,:= \mathrm{d}F + g\, A \wedge F \equiv 0\,\,,$ wobei der Term ~g die Yang-Mills-Ladungen enthält.

Hier wurde die mathematische Sprache der Differentialformen verwendet, die eine kompakte Notierung erlaubt. Die Yang-Mills-Feldstärke ist durch die zweite Maurer-Cartan-Strukturgleichung definiert, die einen Zusammenhang $\,A$ (genauer gesagt dessen lokale Darstellung) eines Hauptfaserbündels (in der Physik Eichpotential bzw. Eichbosonfeld genannt) mit der Krümmung $\, F$ desselben (in der Physik Feldstärke bzw. Feldstärketensor genannt) in Verbindung bringt:

$F\,: = \mathrm{d}A + A\wedge A\,.$

Hier ist $\,A$ eine liealgebra-wertige 1-Form über dem Hauptfaserbündel und $\, F$ eine liealgebra-wertige 2-Form über diesem Hauptfaserbündel. Ferner stellt $\,\mathrm{d}A$ die äußere Ableitung und $A \wedge A$ das äußere Produkt von Differentialformen dar (das hier zwischen den A nicht verschwindet, da die Liealgebra-Komponenten von A im Allgemeinen nicht vertauschen). In Komponentenschreibweise, und mit der Kopplungskonstante g, gilt wie in der Quantenchromodynamik

$F^a_{\mu \nu} = \partial_\mu A^a_{\nu} - \partial_\nu A^a_\mu + g f^a_{bc} A^b_\mu A^c_\nu \,.$

Der oben erwähnte Dualitätsoperator * ist bezüglich der Indizes μ und ν mit der Signatur des Minkowskiraums $\mathbb M^4$ zu bilden, z. B. mit (+---). Bezüglich der Indizes a muss man entsprechend der betrachteten Gruppe vorgehen. Analoges gilt auch für die Spur (Tr ist der englische Ausdruck, eine Abkürzung für "trace"). Obere und untere Indizes, sowie die Reihenfolge von Doppelindizes, werden durch die *-Operation vertauscht. Das Yang-Mills-Funktional kann also auch in der expliziten Form $(4g^2)^{-1}\int \,F^{\nu\mu}_a\cdot F_{\mu\nu}^a$ geschrieben werden.

In der Physik betrachtet man meist eine kompakte, halbeinfache Liegruppe $\,G$, etwa $\,SU(N)$ oder $\,SO(N)$, deren hermitesche Generatoren folgende Kommutationsrelation erfüllen:

$\left[ T_a, T_b \right] = i f_{ab}^c \, T_c\,.$

Die $f_{ab}^c$ heißen (reelle) Strukturkonstanten der Liegruppe. Ein beliebiges Element U von G wird durch folgende Gleichung dargestellt:

$U = e^{i g \theta^a\, T_a}\,.$

Dirac-Teilchen in der Yang-Mills-Theorie

Die Wellenfunktion (Dirac-Feld) ψ eines (mit Yang-Mills-Ladungen) geladenen Teilchens transformiert unter $U\in G$ so:

$\psi \to U\,\psi$ bzw. $\overline{\psi} \to \overline{\psi}\, U^\dagger$

(gilt nur für Teilchen, die nach der fundamentalen Darstellung der Eichgruppe transformieren). Die Lagrange-Funktion für das Dirac-Feld, aus der über die Euler-Lagrangegleichungen die Bewegungsgleichungen des dadurch beschriebenen geladenen Fermion-Teilchens folgen, sieht wegen der Kopplung von Dirac-Feld ψ und Yang-Mills-Feld A („Eichfeld“) wie folgt aus:

$\mathcal{L}(\psi ,A) := \overline{\psi}\, \left[ i\, \gamma^\mu \left( \partial_\mu - i g\, \hat A_\mu \right) + m \right] \psi +\dots\,,$

wobei g die oben angegebene Kopplungskonstante ist. Diese Lagrange-Funktion beschreibt die Kopplung des Feldes A an die Materie-Felder ψ. Der Ausdruck $\partial_\mu - i g\, \hat A_\mu =: \nabla_\mu$ wird kovariante Ableitung oder minimale Kopplung genannt. Die Variablen $\hat A_\mu$ bilden die Vierervektor-Komponenten der zusätzlich noch Liealgebra-wertigen 1-Form $\, A\,$   (d. h., die Indizes a sind zur Vereinfachung weggelassen; meist läßt man auch das Symbol ^ weg, was hier der Deutlichkeit halber bei der kovarianten Ableitung nicht geschieht). Natürlich kommt auch bei Berücksichtigung von Dirac-Teilchen in der Gesamtwirkung noch der oben erwähnte Feld-Anteil hinzu, der hier durch die Punkte angedeutet ist und nicht explizit von ψ abhängt.

Wenn die Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung eingesetzt wird (und zwar in Form einer $\,SU(3)$-Eichtheorie, der schon erwähnten Quantenchromodynamik), dann beschreibt $\, A$ das sog. Gluonfeld, und zwar stellen die $\,T_a$ die acht Gluonenarten dar (die $\,SU(3)$ hat 8 Generatoren, üblicherweise verwendet man die sog. Gell-Mann-Matrizen). Einige wichtige Yang-Mills Theorien mit geladenen Fermionen-Materiefeldern besitzen die Eigenschaft der sog. asymptotischen Freiheit bei hohen Energien bzw. kurzen Abständen, was von der Eichgruppe und der Anzahl der Fermionentypen abhängt.

Offene Probleme

Ein großer Fortschritt in der Durchsetzung der Yang-Mills-Theorien in der Physik ist der Nachweis ihrer Renormierbarkeit durch Gerardus ’t Hooft Anfang der 1970er Jahre. Die Renormierbarkeit gilt auch, wenn die Eichbosonen massiv sind wie in der elektroschwachen Wechselwirkung. Die Massen werden nach dem Standardmodell durch den sog. Higgs-Mechanismus erworben.

In der Mathematik ist die Yang-Mills-Theorie aktuelles Forschungsgebiet und diente z. B. Simon Donaldson zur Klassifikation differenzierbarer Strukturen auf 4-Mannigfaltigkeiten. Die Theorie wurde vom Clay Mathematics Institute in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen. Insbesondere geht es bei diesem Preis-Problem darum nachzuweisen, dass die niedrigsten Anregungen einer reinen Yang-Mills Theorie (das heißt ohne Materiefelder) eine endliche Masse bzw. Anregungsenergie haben (das heißt, es besteht ein Mass-Gap zum Vakuumzustand). Ein damit zusammenhängendes weiteres offenes Problem ist der Nachweis der vermuteten Confinement-Eigenschaft von Yang-Mills-Feldern in Wechselwirkung mit Fermionenfeldern.

In der Physik erfolgen die Untersuchung von Yang-Mills-Theorien inzwischen nicht über störungstheoretische oder analytische Methoden, sondern meist über Gitterrechnungen (Gitter-Eichtheorien).