Rentenrechnung

Rentenrechnung

Die Rentenrechnung ist ein klassisches Verfahren der Finanzmathematik.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Unter einer Rente versteht man eine periodische Folge von Zahlungen. Werden die im Voraus vereinbarten Zahlungen nur ausgeführt, wenn am betreffenden Zahlungstermin eine oder mehrere bestimmte Personen noch am Leben sind, spricht man von Leibrenten; sie sind Gegenstand der Versicherungsmathematik. Werden die vereinbarten Zahlungen unabhängig vom Leben der am Vertrag beteiligten Personen ausbezahlt, spricht man von Zeitrenten. Dieser Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit Zeitrenten.

Grundbegriffe

Wir betrachten als Zeiteinheit ein Jahr und nehmen zudem an, dass jährlich derselbe Rentenbetrag r zu bezahlen ist. Eine Rente heißt nachschüssig oder Postnumerando-Rente, wenn die Zahlungen am Ende der einzelnen Vertragsjahre erfolgen; erfolgen sie am Anfang der Vertragsjahre, sprechen wir von einer vorschüssigen oder einer Pränumerando-Rente.

Denken wir uns, dass jemand in jährlichen Abständen n Beträge von r Euro an Zinseszins gelegt hat, so können wir nach dem Kapital fragen, welches am Ende des n-ten Jahres zur Verfügung steht. Man nennt es den Endwert der Rente.

Wir können aber auch nach dem Kapital fragen, welches bei Vertragsabschluss zur Verfügung stehen muss, damit man aus ihm und seinen Zinsen die einzelnen künftigen Zahlungen von r Euro bestreiten kann. Man nennt es den Barwert der Rente. (Beide Werte hängen natürlich von der Anzahl n der Rentenzahlungen und vom Zinssatz p>0 ab.)

Andere Sichtweise: Endwert und Barwert ersetzen die Folge der Rentenzahlungen durch eine – unter Berücksichtigung der Zinseszinsen gleichwertige – einmalige Zahlung.

Grundformeln

In den folgenden Formeln bezeichnet q den Zinsfaktor q = 1 + p, falls p der Zinssatz ist. Beispiel für einen Zinssatz von 5 %: p=5%\Rightarrow q=1+p=1+5%=1+5\cdot\frac{1}{100}=1+0,05 = 1,05

  Vorschüssig Nachschüssig
Barwert r\cdot\frac{q^n-1}{q^{n-1}(q-1)} r\cdot\frac{q^n-1}{q^n(q-1)}
Endwert r\cdot\frac{q(q^n-1)}{q-1} r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}

Beachte: q − 1 = (1 + p) − 1 = p

Dauer der Zahlung

Die Zahl der Rentenzahlungen, nach denen ein Kapital aufgebraucht ist, ergibt sich (bei vorschüssiger Zahlung) aus der Formel

n=\frac{\ln{\left(\frac{r}{q \cdot r-b \cdot \left(q-1\right)}\right)}}{\ln{\left(q\right)}}+1

Dabei ist b das ursprünglich vorhandene Kapital (der Barwert), q der Zinsfaktor, mit dem dieses Kapital angelegt und verzinst wird, und r die Höhe der daraus regelmäßig bezahlten Rente.

Hinweise:

  1. Diese Rechnung setzt natürlich voraus, dass der Zinssatz über die gesamte Dauer der Rentenzahlung gleich bleibt und sich auch nicht dadurch ändert, dass das Kapital im Laufe der Zeit kleiner wird.
  2. Benutzt man zur Berechnung für q den Jahreszinssatz, so muss man für r auch die Jahresrente einsetzen. Bei vorschüssiger Zahlung ist die Monatsrente etwas höher als ein 12tel der Jahresrente (weil die noch nicht ausgezahlten Monatsraten ja noch verzinst werden). Will man statt dessen mit Monaten als Auszahlungsperioden rechnen, so kann man als Monatszins ein 12tel des Jahreszinses einsetzen, wenn die Zinsgutschrift nur jährlich erfolgt. Erfolgt auch die Zinsgutschrift monatlich, so ist der monatliche Zinsfaktor die 12. Wurzel aus dem jährlichen Zinsfaktor.
    Für eine Überschlagsrechnung sind diese Ungenauigkeiten unbedeutend.

Höhe

Die Höhe der Rente, die aus einem Kapital gezahlt werden kann, ergibt sich (bei vorschüssiger Zahlung) aus der Formel

r = \frac{b \cdot q^{n-1} \left(q-1\right)}{q^n-1}

Wieder ist b das ursprünglich vorhandene Kapital (Barwert) und q der Zinsfaktor. n ist die Zahl der Rentenzahlungen, die ausgezahlt werden sollen.

Es gelten die gleichen Hinweise wie im vorigen Abschnitt.

Mathematischer Hintergrund

Für den Endwert der vorschüssigen Rente ergibt sich: Der erste Beitrag wird n-mal verzinst, der zweite Beitrag n-1-mal verzinst usw. bis zum letzten Beitrag, der genau einmal (also ein Jahr lang) verzinst wird. D. h. der Endwert der vorschüssigen Rente ist

r\cdot q^n + r\cdot q^{n-1} + \dots + r\cdot q = r\cdot (q^n + q^{n-1} + \dots + q)

Wegen

\begin{matrix}(q^n + q^{n-1} + \dots + q) \cdot (q - 1) &=& q^{n+1} + q^n + \dots + q^2 - q^n - q^{n-1} - \dots - q^2 - q \\ &=& q^{n+1} - q = q (q^n - 1)\end{matrix}

lässt sich q^n + q^{n-1} + \dots + q durch \frac{q \cdot (q^n - 1)}{q - 1} ersetzen und man erhält die obige Formel. Die anderen Grundformeln lassen sich analog herleiten.

Siehe auch

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Rentenrechnung — Rentenrechnung, s. Zinseszins und Rentenrechnung …   Lexikon der gesamten Technik

  • Rentenrechnung — Rentenrechnung, s. Zinsrechnung …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Rentenrechnung — Rentenrechnung, die Berechnung, zu wieviel Kapitalseinlagen, die zu verschiedener Zeit, aber regelmäßig gemacht sind, nach einer bestimmten Reihe von Jahren anwachsen, und welchen Zinsbetrag diese Summe dann ergibt …   Kleines Konversations-Lexikon

  • Rentenrechnung — Rentenrechnung,   Rechenverfahren zur Berechnung von Renten; durch eine einmalige Zahlung des Barwertes m wird eine Rente r erworben, die ein Jahr nach der Zahlung des Barwertes zu laufen beginnt und n mal in Abständen von einem Jahr ausgezahlt… …   Universal-Lexikon

  • Rentenrechnung — Teilgebiet der Finanzmathematik. Ermittlung von Rn (Rentenendwert; Gesamtwert einer Rente am Ende der Zahlungen), R0 (Rentenbarwert; Gesamtwert der Rente am Anfang der Zahlungen) und r (Rate, die einzelne Ein oder Auszahlung, alle Zahlungsbeträge …   Lexikon der Economics

  • Rentenrechnung — Rẹn|ten|rech|nung (Mathematik) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • Zinseszins- und Rentenrechnung — Zinseszins und Rentenrechnung. Dieselbe beruht auf der Lehre von den geometrischen Progressionen. Beträgt der Zinsfuß p%, so heißt q = 1 + 0,01 · p der Vermehrungsfaktor. Bei Zinseszins wächst ein Kapital von a ℳ. in n Jahren zum Betrag… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Formelsammlung Algebra — Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind. Inhaltsverzeichnis 1 Grundrechenarten 2 Arithmetische Notation 3 Axiome 4 Elementare Funktionen 4.1 …   Deutsch Wikipedia

  • Darlehensvertrag — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Das Darlehen (auch: der Darlehensvertrag, alternative Schreibweise Darlehn und Darlehnsvertrag) ist ein schuldrechtlicher …   Deutsch Wikipedia

  • Darlehenszins — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Das Darlehen (auch: der Darlehensvertrag, alternative Schreibweise Darlehn und Darlehnsvertrag) ist ein schuldrechtlicher …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”