Ricci-Fluss

In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach Gregorio Ricci-Curbastro) auf einer Mannigfaltigkeit eine zeitabhängige riemannsche Metrik g(t), die eine bestimmte partielle Differentialgleichung löst, nämlich die Ricci-Gleichung

$\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 \, \operatorname{Ric}(t)$,

wobei $\operatorname{Ric}(t)$ die Ricci-Krümmung bezüglich der Metrik g(t) ist.

Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung groß ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie klein ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine Wärmeverteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht.

Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (d.h. Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt.

Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der Geometrisierungs-Vermutung von 3-Mannigfaltigkeiten durch Grigori Perelman.

Mathematische Eigenschaften

Der Ricci-Fluss ist ein Beispiel für eine Flussgleichung oder Evolutionsgleichung auf einer Mannigfaltigkeit. Andere Flussgleichungen, die nach einem ähnlichen Prinzip definiert sind, sind

• der mittlere Krümmungsfluss für eingebettete Mannigfaltigkeiten
• der harmonische Abbildungs-Fluss
• der Wärmeleitungsfluss.

Die Ricci-Gleichung selbst ist eine quasi-parabolische partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Äquivalent zum Ricci-Fluss ist der normalisierte Ricci-Fluss, der die Gleichung

$\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 \, \operatorname{Ric}(t) + 2r(t)g(t)$

löst. Durch den Korrekturterm r(t), der die durchschnittliche Skalarkrümmung zur Zeit t angibt, wird erreicht, dass das Volumen der Mannigfaltigkeit unter dem Fluss konstant bleibt. Der normalisierte und der nicht normalisierte Ricci-Fluss unterscheiden sich nur um eine Streckung in Raumrichtung und eine Umparametrisierung der Zeit. Beispielsweise bleibt eine runde n-Sphäre unter dem normalisierten Fluss konstant, während sie unter dem nicht normalisierten Fluss in endlicher Zeit auf einen Punkt zusammenschrumpft.

Resultate

Richard Hamilton hat gezeigt, dass für eine gegebene Anfangsmetrik der Ricci-Fluss eine gewisse Zeit lang existiert (d.h. die Gleichung eine Lösung für ein kleines Zeitintervall [0,t₀] besitzt). Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet.

Für 3-Mannigfaltigkeiten, die eine Anfangsmetrik positiver Ricci-Krümmung zulassen, konnte er außerdem zeigen, dass auf ihnen der Ricci-Fluss zu einer Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung konvergiert. Es folgt dann, dass die Mannigfaltigkeit entweder die 3-Sphäre oder ein Quotient aus der 3-Sphäre sein muss.

Mit den von Grigori Perelman gezeigten Methoden (Ricci-Fluss mit Chirurgie, Ricci flow with surgery) ist es möglich, auch die Singularitäten des Ricci-Flusses in den Griff zu bekommen: Wenn eine Singularität auftritt, hat eine Umgebung der Singularität eine genau kontrollierbare Struktur, so dass sich diese Umgebung abschneiden lässt und durch eine Kappe (Halbsphäre plus Zylinder) ersetzen lässt. Auf dieser veränderten Mannigfaltigkeit lässt man den Fluss dann weiterfließen. Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin, Abschätzungen gewisser Größen auf die veränderte Mannigfaltigkeit zu übertragen und dadurch zu garantieren, dass sich die Zeitpunkte, an denen Singularitäten auftreten, nicht häufen können.

Literatur/Weblinks

• Bennet Chow, Dan Knopf: The Ricci flow: an introduction, AMS, 2004 (Englisch), ISBN 0-8218-3515-7.
• Michael T. Anderson: Geometrization of 3-Manifolds via the Ricci Flow, Notices of the AMS, 2004 (Englisch). Überblick über Perelmans Beweis und den Ricci-Fluss
• Grisha Perelman: The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Preprint 2002 (Englisch)
• Grisha Perelman: Ricci flow with surgery on three-manifolds, Preprint 2003 (Englisch)
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (Englisch), umfangreiche Materialsammlung zum Ricci-Fluss und zu Perelmans Beweis.
• J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution, 2004 (Englisch), Bilder vom Ricci-Fluss auf Rotationsflächen (ab Seite 8).