Wärmeleitungsgleichung

Modell eines Heizrohres, welches über eine Metallverstrebung abgekühlt wird

Die Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung. Sie ist das typische Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung und beschreibt die Ausbreitung thermischer Veränderungen eines Körpers durch Wärmeleitung oder die Ausbreitung eines gelösten Stoffes durch Diffusion.

Formulierung

Homogene Gleichung

In homogenen Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung

$\frac{\partial}{\partial t} u(\vec x,t) - a\Delta u(\vec{x},t) = 0,$

wobei Δ der Laplace-Operator und a die Temperaturleitfähigkeit des Mediums ist.

Eine häufig verwendete Vereinfachung berücksichtigt nur eine Raumdimension und beschreibt zum Beispiel die zeitliche Änderung der Temperatur in einem dünnen, relativ dazu langen Stab aus festem Material. Dadurch wird der Laplace-Operator zu einer einfachen zweiten Ableitung:

$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) - a\frac{\partial^2}{\partial x^2} {u(x,t)} = 0.$

Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung Null ist, geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung über.

Nichthomogene Gleichung

In Medien mit zusätzlichem Temperaturstrom lautet die dann inhomogene Wärmeleitungsgleichung

$\frac{\partial}{\partial t} u(\vec x,t) - a\Delta u(\vec{x},t) = f(\vec{x},t),$

wobei die rechte Seite f vorgegeben wird. Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung Null ist, geht die Gleichung in die Poisson-Gleichung über.

Klassische Lösungen

Fundamentallösung

Eine spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist die sogenannte Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Diese lautet bei einem eindimensionalen Problem

$H(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi a t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right),$

bei einem n-dimensionalen Problem

$H(\vec{x};t)=\frac{1}{(4\pi a t)^{n/2}} \exp \left(-\frac{\|\vec{x}\|^2}{4at}\right)$

mit $\|\vec{x}\|^2 = \sum_{k=1}^n x_k^2$.

H wird auch als Wärmeleitungskern oder Heat Kernel bezeichnet. Die funktionale Form entspricht der einer Gauß'schen Normalverteilung mit σ² = 2at.

Lösungsformel für das homogene Cauchyproblem

Mit Hilfe der oben angegebenen Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung kann man für das homogene Cauchyproblem der Wärmeleitungsgleichung eine allgemeine Lösungsformel angeben. Dazu stellen wir für gegebene Anfangsdaten u₀ zur Zeit t = 0 zusätzlich die Anfangsbedingung

$u(\vec{x},t=0) = u_0(\vec{x}) \qquad \forall\ \vec{x} \in \R^n.$

Die Lösung $u(\vec{x},t)$ des homogenen Anfangswertproblem erhalten wir für t > 0 durch die Faltung der Fundamentallösung H mit den gegebenen Anfangsdaten u₀ :

$u(\vec{x},t) = (H * u_0)(\vec{x},t) = \int_{\R^n} H(\vec{x} - \vec{y},t) u_0(\vec{y})\,d\vec{y}.$

Lösungsformel für das inhomogene Cauchyproblem mit Null-Anfangsdaten

Für das inhomogene Anfangswertproblem mit Null-Anfangsdaten $u_0(\vec{x})=0$ erhalten wir analog zum homogenen Fall durch die Faltung der Fundamentallösung H mit der gegebenen rechten Seite f als Lösungsformel:

$u(\vec{x},t) = (H * f)(\vec{x},t) = \int_0^t \int_{\R^n} H(\vec{x} - \vec{y},t-s) f(\vec{y},s)\,d\vec{y}\,ds.$

Allgemeine Lösungsformel

Die Lösungsformel für das inhomogene Cauchyproblem mit beliebigen Anfangsdaten erhalten wir auf Grund der Linearität der Wärmeleitungsgleichung durch Addition der Lösung des homogenen Cauchyproblems mit der Lösung des inhomogenen Cauchyproblems mit Null-Anfangsdaten, insgesamt also:

$u(\vec{x},t) = \int_{\R^n} H(\vec{x} - \vec{y},t) u_0(\vec{y})\,d\vec{y} + \int_0^t \int_{\R^n} H(\vec{x} - \vec{y},t-s) f(\vec{y},s)\,d\vec{y}\,ds.$

Weitere Lösungen

In manchen Fällen kann man Lösungen der Gleichung mit Hilfe des Symmetrieansatzes finden:

$u(x,t) = f\left(\frac{x}{\sqrt{at}}\right).$

Dies führt auf die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für f:

$\xi f^\prime(\xi) = -2 f^{\prime\prime}(\xi).$

Eine weitere eindimensionale Lösung lautet

$u(x,t) = \sin\left(2 c^2 at - xc\right) \exp(-cx),$

wobei c eine Konstante ist. Mit ihr kann man das Wärmespeicherungsverhalten modellieren, wenn ein Gegenstand (mit einer zeitlich sinusförmigen Temperatur) erhitzt wird.

Eigenschaften klassischer Lösungen

Maximumprinzip

Lösung einer zweidimensionalen Wärmeleitungsgleichung

Sei u eine Funktion, die die Temperatur eines Festkörpers in Abhängigkeit des Ortes und der Zeit angibt, also u = u(x₁,x₂,x₃,t). u ist zeitabhängig, weil sich die thermische Energie mit der Zeit über das Material ausbreitet. Die physikalische Selbstverständlichkeit, dass Wärme nicht aus dem Nichts entsteht, schlägt sich mathematisch im Maximumprinzip nieder: Der Maximalwert (über Zeit und Raum) der Temperatur wird entweder am Anfang des betrachteten Zeitintervalls oder am Rand des betrachteten Raumbereichs angenommen. Diese Eigenschaft gilt allgemein bei parabolischen partiellen Differentialgleichungen und kann leicht bewiesen werden.

Glättungseigenschaft

Eine weitere interessante Eigenschaft ist, dass selbst wenn u zum Zeitpunkt t = t₀ eine Unstetigkeitsstelle hat, die Funktion u zu jedem Zeitpunkt t > t₀ stetig im Raum ist. Wenn also zwei Metallstücke verschiedener Temperatur bei t = t₀ fest verbunden werden, wird sich (nach dieser Modellierung) an der Verbindungsstelle schlagartig die mittlere Temperatur einstellen und die Temperaturkurve stetig durch beide Werkstücke verlaufen.

Siehe auch

• Poröse-Medien-Gleichung
• Crank-Nicolson-Verfahren

Literatur

• Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 183-253.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).

Weblinks

 Commons: Wärmeleitungsgleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien