- Riemannscher Hebbarkeitssatz
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Der riemannsche Hebbarkeitssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein grundlegendes Ergebnis der mathematischen Funktionentheorie. Der Satz besagt, dass eine Singularität (also eine Stelle, an der eine holomorphe Funktion nicht definiert ist) genau dann entfernt ("behoben") werden kann, wenn ein Gebiet um die Singularität existiert, auf dem die holomorphe Funktion beschränkt ist. Eine solche Singularität heißt hebbar.
Inhaltsverzeichnis
Der Satz
Es sei
ein Punkt des Gebietes
,
sei eine auf
holomorphe Funktion. Ist
auf einer punktierten Umgebung von
beschränkt, so gibt es eine auf ganz G holomorphe Funktion
mit
.
Man kann dann also
in den Punkt
hinein holomorph fortsetzen und damit die "Lücke" im Definitionsgebiet von
"aufheben".
Verallgemeinerungen
Eine einfache Verallgemeinerung besteht darin, die Voraussetzung der Beschränktheit dahingehend abzuschwächen, dass lediglich
gilt. Sie folgt leicht aus der obigen Formulierung durch Anwendung auf die in einer Umgebung von z0 beschränkte Funktion g(z) = (z − z0)f(z).
Anwendungsbeispiel: Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion
Behauptung: Es gibt keine auf
holomorphe Funktion f, die f(z)2 = z für
erfüllt und für positive reelle Argumente mit der üblichen Wurzelfunktion übereinstimmt.
Beweis durch Widerspruch: Es gälte
, damit wäre f in einer punktierten Umgebung der Null beschränkt, nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz also holomorph auf ganz
fortsetzbar. Damit müsste auch die Ableitung von f bei 0 lokal beschränkt sein. Andererseits ist
für positive reelle
unbeschränkt: Aus diesem Widerspruch folgt, dass die ursprüngliche Behauptung wahr sein muss.
Literatur
- Krantz, S. G.: Handbook of Complex Variables, Birkhäuser, 1999, ISBN 0817640118. Darin: §4.1.5, The Riemann Removable Singularity Theorem.
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