Axiomatische Theorie

Ein Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft, eines axiomatischen Systems).

Der Ausdruck "Axiom" wird in drei Grundbedeutungen verwendet: Er bezeichnet

1. einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz (klassischer (materialer) Axiombegriff) (Beispiel: Satz vom Widerspruch);
2. ein vielfach bestätigtes allgemeines Naturgesetz (naturwissenschaftlicher (physikalischer) Axiombegriff) (Beispiel: Newtonsche Axiome);
3. einen zu Grunde gelegten, nicht abgeleiteten Ausgangssatz (moderner (formaler) Axiombegriff).

Axiom im Sinne

eines evidenten Grundsatzes (klassischer Axiombegriff)

Der klassische Axiombegriff wird auf Euklid und Aristoteles zurückgeführt. "Axiom" bezeichnet klassisch ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip. Diese Bedeutung war bis in das 19. Jahrhundert herrschend. Als evidentes Prinzip bedarf ein Axiom weder eines Beweises noch ist es einem Beweis zugänglich. In metaphysischer Interpretation ist es durch Evidenz, Gewissheit und ontologische Priorität gekennzeichnet. Dies ist in der neuzeitlichen Axiomatik mit ihrer Formalisierung entfallen. Axiome unterscheiden sich von anderen Aussagen nur dadurch, dass sie nicht abgeleitet sind^[1].

eines allgemeinen Naturgesetzes (naturwissenschaftlicher Axiombegriff)

In den empirischen Wissenschaften bezeichnet man als Axiome auch grundlegende Gesetze, die vielfach empirisch bestätigt worden sind ^[2]. Als Beispiel werden die Newtonschen Axiome der Mechanik genannt.

Auch wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, beruhen auf Axiomen. Aus diesen werden Theorien geschlussfolgert, die im Experiment verifiziert werden. Stehen Aussagen der Theorie im Widerspruch zur experimentellen Beobachtung, werden die Axiome angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonsche Axiome nur für „langsame“ und „große“ Systeme gute Vorhersagen und sind durch die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. Trotzdem verwendet man die Newtonschen Axiome weiter für solche Systeme, da die Folgerungen einfacher sind und für die meisten Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau sind.

eines unabgeleiteten Ausgangssatzes einer Theorie (moderner (formaler) Axiombegriff)

Durch Hilbert (1899) wurde ein formaler Axiombegriff herrschend: Ein Axiom ist jede unabgeleitete Aussage. Dies ist eine rein formale Eigenschaft. Die Evidenz oder der ontologische Status eines Axioms spielt keine Rolle und bleibt einer gesondert zu betrachtenden Interpretation überlassen.

Ein Axiom ist dann eine grundlegende Aussage, die

• Bestandteil eines formalisierten Systems von Sätzen ist,
• ohne Beweis angenommen wird und
• aus der zusammen mit anderen Axiomen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden.

Teilweise wird behauptet, ein Axiom sei "ein unbewiesener und daher unverstandener Satz"^[3] und zugleich, ob ein Axiom verstehbar sei, „weil auf einsichtigen Operationen beruhend“ ist, „kann zunächst offenbleiben“^[4]. Axiome beruhten auf "Willkür"^[5].

Richtig daran ist, dass ein Axiom - bezogen auf eine Theorie - unbewiesen ist. Das heißt aber nicht, dass ein Axiom unbeweisbar sein muss. Die Axiomeigenschaft ist relativ. Was in einer Wissenschaft ein Axiom ist, kann in einer anderen ein Theorem sein.

Ein Axiom ist unverstanden, nur insofern seine Wahrheit nicht formal bewiesen, sondern vorausgesetzt ist. Nur für den, der Verständnis mit formaler Beweisbarkeit gleichsetzt und es keine Evidenz gibt, sind Axiome unverstanden. Der moderne Axiombegriff dient dazu, die Axiomeigenschaft von der Evidenzproblematik abzukoppeln, was aber nicht notwendigerweise bedeutet, dass es keine Evidenz gibt.

Wichtig ist allerdings, dass bei Anwendung der axiomatischen Methode bei der Deduktion der Theoreme nicht von der Deutung der axiomatischen Zeichen Gebrauch gemacht wird ^[6].

Axiome beruhen auch nur in pointierter Formulierung auf Willkür. Schon in formaler Hinsicht müssen sie sich den Forderungen nach Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit eines axiomatischen Systems^[7] unterordnen.

Abgrenzungen

Theorem

Herrschend ist der Sprachgebrauch, nach dem Axiom ein Gegenbegriff zu Theorem (im engeren Sinn) ist^[8]: Im Gegensatz zu Theoremen werden Axiome weder deduktiv abgeleitet noch durch formale Beweisgänge belegt. Theoreme sind also Sätze, die von Axiomen abgeleitet werden. ^[9]

Mitunter wird ein Axiom als Unterfall eines Theorems bezeichnet^[10]. Dann wird der Ausdruck Theorem im weiteren Sinn, d.h. als Lehrsatz, verwendet.

Theorie

Ein Axiom ist keine vollständige Theorie. Es handelt sich vielmehr um eine bedingende/konditionale Voraussetzung in Form von geistigem Gedankengut für die vollständige Theorie. Es kann der Fall auftreten, dass mehrere Axiome eine Theorie ausmachen. Notwendige Bedingung ist, dass das Axiom auf einem logischen Fundament basiert.^[11]

These

Die These ist ein (Lehr-) Satz, der eines Beweises bedarf^[12]. Ein Axiom ist ein Satz, der beweislos vorausgesetzt wird.

Wenn es heißt: „Axiome unterscheiden sich von Thesen dadurch, dass sie im System nicht ableitbar sind. Thesen hingegen kann man von den Axiomen ableiten“^[13], erscheint dies verfehlt: Axiome, die aus einem (axiomatischen) System ableitbar sind, sind auch Axiome, nur überflüssige. Thesen, die aus Axiomen ableitbar sind, nennt man üblicherweise Theoreme, aber nicht alle Thesen müssen aus Axiomen ableitbar sein: sie können auch unabhängig von einem axiomatischen System beweisbar sein.

Regel

Axiome sind Gesetze, keine Regeln. In der neuzeitlichen Axiomatik gibt es zwei Prinzipien: die Axiome und die Regeln. Dies relativiert den Begriff der Ableitbarkeit oder Beweisbarkeit: sie besteht immer nur in Bezug auf ein gegebenes System.^[14]

Die Axiome und die abgeleiteten Aussagen gehören zur Objektsprache, die Regeln zur Metasprache.^[15]

Ableitung, Beweis

„Geht eine Ableitung von den Axiomen eines Kalküls bzw. von wahren Aussagen aus, so spricht man von einem Beweis.“^[16]

Kalkül

Ein Kalkül ist „ein rein formales Verfahren zur Auszeichnung bzw. Erzeugung gewisser Ausdrücke“ ^[17]. Man^[18] unterscheidet Axiomatische Kalküle, Beweis-Kalküle und Tableau-Kalküle. Axiomatische Kalküle sind Kalküle, die "aus einer Menge von Axiomen und einer möglichst kleinen Menge von Schlussregeln" bestehen^[19].

Beispiele

aus der Logik bzw. Metaphysik

• "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
• Satz der Identität^[20]
• Satz vom Widerspruch
• Satz vom ausgeschlossenen Dritten
• Satz vom zureichenden Grunde

aus der Mathematik

• Die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom definieren die reellen Zahlen.
• Parallelenaxiom: "Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine zu der Geraden parallele Gerade durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
• "Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1." ist ein Axiom der Arithmetik.

aus der Physik

• Newtonsche Axiome
• "Der Raum in einem Inertialsystem ist homogen", d. h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses.

Siehe auch

• Paradigma - Ein philosophisches Axiom
• Dogma - Ein religiöses Axiom

Für eine mathematisch präzisere Darstellung siehe Aussagenlogik.

• Axiomatisierung
• Axiomatisches System

Literatur

Artikel in fachbezogenen Enzyklopädien und Wörterbüchern

• Axiom, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Bd.1, B.I.-Wissenschaftsverlag 1980
• Logical Terms, Glossary of, in: Paul Edwards (Ed.): The Encyclopedia of Philosophy, Vol. 5, Collier Macmillan 1972
• Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe [2005]/Axiom
• Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang, Axiom
• Spree, in: Rehfus, Handwörterbuch Philosophie (2003)/Axiom
• Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Axiom

Monographien

• Evandro Agazzi: Introduzione ai problemi dell'assiomatica, Milano 1961
• Robert Blanché: Axiomatics, London: Routledge 1962
• Euklid: Die Elemente. Harri Deutsch, Frankfurt a.M., 4. erw. Aufl. 2005
• David Hilbert u.a.: Grundlagen der Geometrie, Teubner 2002, ISBN 3-519-00237-X
• Arpad Szabo: Anfänge der griechischen Mathematik, Oldenbourg 1969, ISBN 3-486-47201-1
• Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 73 ff.
• Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 172 ff.
• Hilbert/Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 6. Aufl. (1972), S. 24
• Kutschera, Frege (1989), S. 154 f.
• Nagel/Newmann, Der Gödelsche Beweis, in: Meixner, (Hrsg.), Philosophie der Logik (2003), S. 150 (169)
• Tarski, Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 126 ff.

Quellen

1. ↑ Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 78 f.
2. ↑ Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiom
3. ↑ Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang
4. ↑ Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Axiom
5. ↑ Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang
6. ↑ Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 174
7. ↑ Hilbert/Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 6. Aufl. (1972), S. 98
8. ↑ Tarski, Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 127
9. ↑ Vgl. Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 172
10. ↑ So z.B. Ruppen, Einstieg (1996), S. 125
11. ↑ So Vorgängerversion. Zu beachten ist aber, dass ein Axiom im modernen Sinn letztlich eine willkürliche Behauptung ist.
12. ↑ Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/These
13. ↑ Ruppen, Einstieg in die formale Logik (1996), S. 134
14. ↑ Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 79
15. ↑ Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 79
16. ↑ Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Ableitung
17. ↑ Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Kalkül
18. ↑ Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Kalkül
19. ↑ Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Kalkül
20. ↑ Spree, in: Rehfus, Handwörterbuch Philosophie (2003)/Axiom

Weblinks

• Patricia Blanchette: „The Frege-Hilbert Controversy“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)