- S-Norm
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Eine T-Norm, oft auch klein t-Norm, ist eine mathematische Funktion, die im Bereich mehrwertiger Logiken, insbesondere in der Fuzzy-Logik, Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen triangular norm, zu Deutsch Dreiecksnorm ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche in beschreibt.
Eine T-Norm ist auf dem Einheitsintervall [0,1] definiert
und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):
- Assoziativität: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c)
- Kommutativität: T(a, b) = T(b, a)
- Monotonie: T(a, b) ≤ T(c, d), falls a ≤ c und b ≤ d
- 1 ist neutrales Element: T(a, 1) = a
Der Hintergrund bei der Entwicklung der T-Norm bestand darin, dass man für mehrwertige Logiken einen verallgemeinerten Konjunktions-Operator benötigte. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die 1 als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt.
Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit Fuzzy-Mengen verwendet, um die Schnittmengen-Operation nachzubilden.
Komplementär zu T-Normen werden T-Conormen (od. auch S-Normen) verwendet. Mit Hilfe der de Morganschen Gesetze lässt sich nämlich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, und einer Negation die Disjunktions- bzw. die Vereinigungsmengen-Operation ableiten.
Geläufige T-Normen und T-Conormen
Die angegebenen T-Conormen sind jeweils bezüglich der Standardnegation N(x)=1-x zur entsprechenden T-Norm dual, also über die de Morganschen Gesetze verknüpft. Mit anderen involutiven Negationen ergeben sich im Allgemeinen auch andere T-Conormen.
Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der Wahrscheinlichkeitrechnung. Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:
D.h. dass die drastische T-Norm (T-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm
Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende Zusammenhänge:
- 1-⊥(a,b) = T(1-a, 1-b)
- 1-T(a,b) = ⊥(1-a, 1-b)
Folgende Bedingungen werden verlangt, damit eine Funktion als T-Norm bzw. T-Conorm gilt:
T-Norm T-Conorm Nullelement: T(0,a) = T(a,0) = 0 ⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1 Neutrales Element: T(a,1) = T(1,a) = a ⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a Assoziativität: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) ⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c) Kommutativität: T(a,b) = T(b,a) ⊥(a,b) = ⊥(b,a) Monotonie: a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c) a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c)
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