- Satz von Goldstine
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Die schwach-*-Topologie ist eine wichtige Topologie auf dem Dualraum eines normierten (oder allgemeiner lokalkonvexen) Raums. Die Bedeutung beruht u.a. auf dem Satz von Banach-Alaoglu, wonach die Einheitskugel im Dualraum bezüglich dieser Topologie kompakt ist. Die schwach-*-Topologie spielt eine wichtige Rolle in vielen funktionalanalytischen Konstruktionen, so zum Beispiel in der Gelfand-Transformation oder im Satz von Mackey-Arens, der diejenigen Topologien auf einem lokalkonvexen Raum beschreibt, die zum selben topologischen Dualraum wie die Ausgangstopologie führen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Jedes Element x aus einem normierten oder allgemeiner lokalkonvexen
-Vektorraum E (
ist hier
oder
) definiert durch die Formel
ein lineares Funktional auf dem topologischen Dualraum
. Die schwach-*-Topologie ist definiert als die schwächste Topologie auf
, die all diese Abbildungen
stetig macht.
Eine etwas konkretere Definition erhält man durch die Angabe einer Umgebungsbasis. Für
bilden die Mengen
,
wobei
, eine Umgebungsbasis schwach-*-offener Mengen von f. Die schwach-*-Topologie wird oft mit w * oder
bezeichnet.
Konvergenz
Die Konvergenz in der schwach-*-Topologie lässt sich sehr leicht beschreiben. Eine Folge
(oder allgemeiner ein Netz
) konvergiert genau dann in der schwach-*-Topologie gegen f, wenn
bzw.
für alle
. Daher nennt man die schwach-*-Topologie auch die Topologie der punktweisen Konvergenz.
Halbnormen
Der Dualraum E' ist mit der schwach-*-Topologie ein lokal konvexer Raum. Die schwach-*-Topologie kann daher auch durch die Angabe eines Halbnormen-Systems definiert werden. Mit
bilden die Halbnormen
,
ein solches System.
Eigenschaften
- Die schwach-*-Topologie
macht E' zu einem lokalkonvexen Raum. Bildet man bezüglich dieser Topologie den starken Dualraum, so erhält man
, oder kurz
.
- Die wohl wichtigste Eigenschaft wird im Satz von Banach-Alaoglu behandelt, das ist die schwach-*-Kompaktheit der Einheitskugel im Dualraum.
- Durch die kanonische Einbettung eines Banachraums E in seinen Bidualraum E'' kann man E als Unterraum von E'' ansehen. Der Satz von Hahn-Banach zeigt, dass E bezüglich der schwach-*-Topologie σ(E'',E') dicht liegt. Mit Hilfe des Trennungssatzes kann man zeigen, dass diese Dichtheitsbeziehung auch für die Einheitskugeln richtig ist, das heißt es gilt der auf Hermann Heine Goldstine zurückgehende
-
- Satz von Goldstine:
liegt σ(E'',E')-dicht in
.
- Satz von Goldstine:
Siehe auch
Literatur
- K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
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