Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis.

Aussage

Erste Fassung

Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge.

Zweite Fassung

• Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) hat (mindestens) einen Häufungspunkt.
• Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt.

Beweisskizze

Beim Beweis des Satzes für beschränkte reelle Zahlenfolgen geht man in der Regel wie folgt vor:

1. Beginne mit dem Intervall $I = [-L,\,L]$, das alle Folgeglieder enthält. Wähle a₁ als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge.
2. Halbiere das Intervall (der Mittelpunkt des Intervalls wird dabei beliebig einem der beiden Teilintervalle zugeschlagen); mindestens eine Hälfte muss unendlich viele Folgenglieder enthalten, diese Hälfte werde nun mit I bezeichnet. Wähle als nächstes Glied der Teilfolge das erste Element a_n, das in I liegt und dessen Index größer ist als der des zuvor gewählten Elements.
3. Fahre mit dem vorigen Punkt unendlich lange fort. Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner, so dass die Teilfolge gegen den einzigen Punkt konvergiert, der in allen Intervallen liegt. Dieser existiert als gemeinsamer Punkt einer Intervallschachtelung.

Um den größten Häufungspunkt zu bestimmen, muss man, wann immer möglich, das obere Teilintervall wählen, für den kleinsten Häufungspunkt das untere Teilintervall.

Verallgemeinerungen

Endlichdimensionale Vektorräume

Die komplexen Zahlen werden im Kontext dieses Satzes als zweidimensionaler reeller Vektorraum betrachtet. Für eine Folge $(a_n)_{n\in\N}\subset\R^n$ von Spaltenvektoren mit n reellen Komponenten wählt man zuerst eine Teilfolge, die in der ersten Komponente konvergiert. Von dieser wählt man wieder eine Teilfolge, die auch in der zweiten Komponente konvergiert. Die Konvergenz in der ersten Komponente bleibt erhalten, da Teilfolgen konvergenter Folgen wieder konvergent mit demselben Grenzwert sind. Und so weiter, bis die n-te Teilfolge auch in der letzten Komponente konvergiert.

Unendlichdimensionale Vektorräume

Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt nicht in unendlichdimensionalen Vektorräumen. So ist z.B. die Folge der Einheitsvektoren (0,0,...,0,1,0,...,0,...) im Folgenraum $\ell_2(\R)$ beschränkt, kann aber keinen Grenzwert haben, da alle Folgenglieder einen Abstand von $\sqrt2$ voneinander haben. Dieses Gegenbeispiel lässt sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern, man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Länge 1 konstruieren, die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1/2 besitzen.

Als Ersatz für den Satz von Bolzano-Weierstraß in unendlichdimensionalen Vektorräumen existiert in reflexiven Räumen folgende Aussage: Jede beschränkte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge. Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.

Folgerungen

Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ein Maximum bzw. ein Minimum annimmt.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist eng verwandt mit dem Satz von Heine-Borel. Eine Verallgemeinerung beider Sätze auf topologische Räume ist folgender: Ein topologischer Raum ist genau dann ein kompakter Raum, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8

Weblinks

 Wikibooks: Mathematik in mehreren Bänden, Band 4, Analysis – Lern- und Lehrmaterialien