Satz von Krein-Milman

Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman^[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage

Ist E ein lokalkonvexer Raum und $\mathcal{C}\subseteq E$ eine kompakte und konvexe Teilmenge von ihm, so ist $\mathcal{C}$ gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge ihrer Extremalpunkte.

Dieser Satz hat eine teilweise Umkehrung, die oft Satz von Milman genannt wird: Ist $\mathcal{C}\subseteq E$ eine kompakte, konvexe Menge und ist $T\subseteq \mathcal{C}$, so dass $\mathcal{C}$ die abgeschlossene konvexe Hülle von T ist, so muss der Abschluss von T alle Extremalpunkte von $\mathcal{C}$ enthalten.

In endlichdimensionalen Räumen kann man eine wesentlich schärfere Aussagen erreichen, siehe Satz von Minkowski.

Anwendung

Der Banachraum c₀ der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm $\|\cdot\|_\infty$ ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber x = (x_n)_n ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index m mit $|x_m|<\tfrac{1}{2}$, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun h = (h_n)_n definiert durch h_n = 0 für $n \not= m$ und $h_m=\tfrac{1}{2}$, so ist $\|x+h\|_\infty \le 1$ und $\|x-h\|_\infty \le 1$ und $x=\tfrac{1}{2}(x+h) + \tfrac{1}{2}(x-h)$, das heißt der beliebig vorgegebene Punkt x ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von c₀ keine Extremalpunkte und c₀ kann daher kein Dualraum sein.

Quelle

• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362-363.

Einzelnachweise

1. ↑ M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.