Satz von Lebesgue

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Der Satz formal in seiner allgemeinsten Form

Sei $(\Omega,\mathcal{A},\varphi)$ ein Maßraum und sei $\left(f_n\right)$ eine Folge von $\varphi$-messbaren Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$.

Die Folge $\left( f_n \right)$ konvergiere $\varphi$-fast überall gegen eine $\varphi$-messbare Funktion f. Ferner werde die Folge $\left(f_n\right)$ von einer $\varphi$-integrierbaren Funktion $\,g$ auf $\,\Omega$ majorisiert, sprich für alle $n \in \mathbb{N}$ gelte $|f_{n}| \leq g$ $\varphi$-fast überall.

Dann sind f und alle $f_n \,\varphi$-integrierbar und es gilt:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\int_\Omega{f_n\,}d\varphi = \int_\Omega{f\,}d\varphi$     sowie

$\lim_{n \rightarrow \infty}\int_\Omega{|f_n - f|}\,d\varphi = 0$

Bemerkung zur Voraussetzung

Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit $|f_n|\le g$ kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$, definiert durch $q_n : [0,1] \rightarrow\mathbb{R}, q_n := n \chi_{[0,{1\over n}]}$, worin $\chi_{[0,{1\over n}]}$ die Indikatorfunktion auf $[0,{1 \over n}]$ bezeichne.

Es gilt $\lim q_n = 0$ fast überall, aber dennoch ist $\lim \int_{[0,1]} q_n = \lim 1 = 1 \ne 0 = \int_{[0,1]} 0 = \int_{[0,1]} \lim q_n$.

Majorisierte Konvergenz in L^p-Räumen (Folgerung)

Sei $(\Omega,\mathcal{A},\varphi)$ ein Maßraum, $p\ge1$ eine reelle Zahl und sei $\left(f_n\right)$ eine Folge von messbaren Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$.

Weiter konvergiere die Folge $\left( f_n \right)$ $\varphi$-fast überall gegen eine $\varphi$-messbare Funktion f, und die Folge $\left(f_n\right)$ werde von einer Funktion $\,g\in L^p$ majorisiert, d.h., für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $|f_{n}| \leq g$ $\varphi$-fast überall.

Dann sind alle f_n und auch f in L^p und es gilt: Die Folge $\left( f_n \right)$ konvergiert gegen f im Sinne von L^p, d.h.

$\lim_{n \rightarrow \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p d\varphi\right)^{1/p} = 0$.

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge h_n = | f_n − f | ^p mit der Majorante (2g)^p.

Siehe auch

• Satz von der monotonen Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, Second Edition, ISBN 0-8218-2783-9