- Satz von Fischer-Riesz
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Der Satz von Fischer-Riesz ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis. Ernst Sigismund Fischer und von Frigyes Riesz bewiesen im Jahr 1907[1] unabhängig voneinander diesen Satz. Aus diesem Grund trägt die Aussage ihre Namen. In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Sätze, die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind.
Inhaltsverzeichnis
Klassischer Satz von Fischer-Riesz
Fischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage. Der Raum L2([0,1]) der quadrat-integrierbaren Funktionen ist isometrisch isomorph zum Folgenraum der quadrat-summierbaren Funktionen also
Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der reellen Analysis formulieren. So ist eine messbare Funktion genau dann in L2([ − π,π]), wenn ihre Fourier-Reihe bezüglich der L2-Norm konvergiert. Im Folgenden wird der L2-Raum von dem Intervall [ − π,π] gebildet, dies erspart Normierungen, jedoch ist die Aussage auch für alle anderen kompakten Intervalle richtig.
Die am N-ten Glied abgebrochene Fourier-Reihe einer quadrat-integrierbaren Funktion f ist
wobei an der n-te Koeffizient der Reihe ist, welche durch
gegeben ist. Für eine quadrat-integrierbare Funktion f gilt also dann
Der Isomorphismus zwischen L2 und ist also die Transformation in eine Fourier-Reihe.
Verallgemeinerter Satz von Fischer-Riesz
Oftmals findet man auch folgende, allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer-Riesz.
Aussage
Ist H ein Hilbertraum und eine Orthonormalbasis von H, so ist die Abbildung
ein isometrischer Isomorphismus.
Folgerungen
- Seien I und J zwei passende Indexmengen. Zwei Hilberträume H und K mit Orthonormalbasen und sind isometrisch isomorph, wenn I und J die gleiche Kardinalität haben.
- Da jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (Anwendung von Zorns Lemma), folgt daraus, dass es bis auf Isomorphie genauso viele Hilberträume gibt wie Kardinalzahlen.
- Aus dem Satz lässt sich folgern, dass jeder separable unendlichdimensionale Hilbertraum zum Folgenraum isometrisch isomorph ist.
Vollständigkeit der Lp-Räume
Die Aussage, dass die Lp(Ω,μ)-Räume für mit der Norm
Banachräume also insbesondere vollständig sind, wird auch oftmals auch als Satz von Fischer-Riesz bezeichnet.
Für den Fall p = 2 und μ als Lebesgue-Maß folgt dies nämlich aus dem Beweis des (klassischen) Satzes von Fischer-Riesz. So konvergiert die Folge genau dann in , wenn f eine L2-Funktion ist.
Einzelnachweise
- ↑ Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Paris 144 (1907) 615-619
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
- H. Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 2006, ISBN 3-8351-0026-2, enthält historische Bemerkungen
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