Satz von Rao-Blackwell

Der Satz von Rao-Blackwell ist ein Satz aus der mathematischen Statistik, der zu den grundlegenden Resultaten aus der Theorie der Punktschätzer gehört. Zusammen mit dem Satz von Lehmann–Scheffé liefert er Kriterien für beste Schätzer.

Er ist benannt nach dem indischen Mathematiker C. R. Rao und seinem US-amerikanischen Kollegen David Blackwell.

Formulierung

Sei $(P_\theta)_{\theta\in\Theta}$ ein statistisches Modell für $X:\Omega\rightarrow\mathcal{X}$, $g:\Theta\rightarrow\Gamma$ eine Abbildung und $t:\mathcal{X}\rightarrow\Gamma$ ein Schätzer für g(θ). Sei weiter $s:\mathcal{X}\rightarrow S$ eine suffiziente Statistik.

Dann wird durch t ^* (s): = E(t(x) | S = s) ein Schätzer $t^*:S\rightarrow\Gamma$ definiert. Dieser Schätzer hat denselben Bias wie t und weiter gilt:

$MSE(\theta,t^*)\leq MSE(\theta,t)\quad \forall \, \theta$

Dabei wird mit MSE die mittlere quadratische Abweichung (engl. mean squared error) bezeichnet.

In obiger Ungleichung gilt strikte Ungleichheit, wenn nicht t(x) bereits eine Funktion von S ist.

Interpretation

Der Satz von Rao-Blackwell stellt heraus, dass jeder Schätzer für einen Parameter θ dadurch verbessert werden kann, dass man ihn auf eine suffiziente Statistik bedingt. Beste Schätzer lassen sich also zwangsläufig als Funktionen solcher Statistiken darstellen.