Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

$ds^2=-\Big[1-\Big(\frac{a}{r}\Big)^{d-3}\Big] dt^2 + \Big[1-\Big(\frac{a}{r}\Big)^{d-3}\Big]^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2_{d-2},$

wobei c = 1 gesetzt wurde und d die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der "gewöhnlichen" Raumzeit wäre also d = 4. Mit $d\Omega^2_{d-2}$ wird die Standardmetrik auf der d − 2-dimensionalen Einheitssphäre S^{d − 2} bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

$d\Omega_1^2=d\varphi^2,\quad d\Omega^2_{i+1}=d\theta_i^2+\sin^2\theta_i d\Omega_i^2\;(i\ge 1),$

wobei die Koordinate φ Werte zwischen 0 und 2π annimmt, während die Koordinaten θ_i Werte zwischen 0 und π annehmen. Für d = 6 ergibt sich beispielsweise

$d\Omega_4^2=d\theta_3^2+\sin^2\theta_3 d\theta_2^2+\sin^2\theta_3 \sin^2 \theta_2 d\theta_1^2 + \sin^2\theta_3 \sin^2\theta_2 \sin^2\theta_1 d\varphi^2.$

Für $d\ge 5$ ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für d = 4 durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene $\theta_1=\theta_2=\ldots=\frac{\pi}{2}$ betrachtet und die Koordinate $u(\varphi)=\frac{a}{r}$ einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen E ("Energie") und l ("Drehimpuls") die Gleichung

$\frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2 + \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2} u^{d-1} - \frac{a^2}{l^2}u^{d-3}=\frac{a^2}{l^2}(E-1),$

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über u, so erkennt man sofort, dass für $d\ge 5$ maximal ein bzw. genau ein ($d\ge 6$) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei $u=\infty$.

Literatur

• Tangherlini, F.R., "Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem", Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)